Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n cdot n^2 cdot(2 / 3)^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nn^2l(tfrac23r)^n
em convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar o critério da razão para examinar a convergência da série dos valores absolutos, pois se ela convergir, a original converge absolutamente.

Passo 2

Formamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^inftyl|(-1)^nn^2(2/3)^nr| =sumn=1^inftyn^2l(tfrac23r)^n
Denotemos bn=n^2(2/3)^n.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão em bn. Calculamos
bn+1bn =(n+1)^2n^2cdot23
Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinftybn+1bn =limntoinftyl((n+1)^2n^2r)cdot23 =1cdot23 =23<1
Como esse limite é menor que 1, concluímos que sum bn converge.

Passo 4

Já que sumn=1^inftyn^2(2/3)^n converge, a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

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