Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos primeiro examinar a convergência absoluta e depois a convergência da série original.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta consideramos a série dos valores absolutos:
Como para todo
n vale
essa série não pode convergir (um requisito necessário para convergência é que seus termos tendam a zero). Logo não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora examinamos a série original
Para que uma série
sum an possa convergir (mesmo condicionalmente), é necessário que
limntoinftyan=0 . Mas
não existe (os termos oscilam entre valores próximos de
+1 e
-1 ), em particular não tendem a zero. Portanto a série não converge.
Resposta
A série diverge, ou seja, não converge nem absolutamente nem condicionalmente.