Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n cdot nn+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,nn+1
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos primeiro examinar a convergência absoluta e depois a convergência da série original.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|(-1)^n,nn+1| =sumn=1^inftynn+1
Como para todo n vale
nn+1=1-1n+1Longrightarrow limntoinftynn+1=1neq0,
essa série não pode convergir (um requisito necessário para convergência é que seus termos tendam a zero). Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora examinamos a série original
an = (-1)^n,nn+1
Para que uma série sum an possa convergir (mesmo condicionalmente), é necessário que limntoinftyan=0. Mas
limntoinftyan =limntoinfty(-1)^n,nn+1
não existe (os termos oscilam entre valores próximos de +1 e -1), em particular não tendem a zero. Portanto a série não converge.

Resposta

A série diverge, ou seja, não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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