Uma região R no plano x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R, onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v.
R é o paralelogramo com vértices (0,0),(4,3),(2,4),(-2,1)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação afim
;T: (u,v)mapsto(x,y),
que leva um retângulo S de lados paralelos aos eixos no plano uv sobre o paralelogramo
R
com vértices (0,0), (4,3), (2,4) e (-2,1).
Para isso vamos escolher um vértice como origem e usar os vetores das arestas de R.

Passo 2

Tomamos (0,0) como vértice base de R. Os vértices adjacentes a (0,0) são (4,3) e (-2,1), logo os vetores de aresta são
v1 = (4,3), v2 = (-2,1)

Passo 3

Definimos
S=(u,v)mid 0<= u<=1,;0<= v<=1
Como uma parametrização afim, escrevemos
T(u,v) = (0,0) + u,v1 + v,v2 = (4u - 2v,;3u + v)

Resposta

x = 4u - 2v, y = 3u + v, 0<= u<=1,;0<= v<=1

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