Resolva as equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{1+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1 + y}
Este é um caso de equação diferencial separável, pois podemos colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y)\,dx:
(1 + y)\,dy = x\,dx
Agora a parte em y está no lado esquerdo e a parte em x está no lado direito.

Passo 3

Integre os dois lados da igualdade:
\int (1 + y)\,dy = \int x\,dx
No lado esquerdo usamos que \int1\,dy = y e \int y\,dy = \tfrac{y^2}{2}. No direito, \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}.

Passo 4

Após a integração obtemos
y + \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Multiplique tudo por 2 para simplificar:
2y + y^2 = x^2 + 2C.
Reescrevendo 2C como uma nova constante C_1, temos
y^2 + 2y - x^2 - C_1 = 0.

Passo 6

Esta é uma equação quadrática em y. Use a fórmula de Bhaskara:
y = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4\cdot1\cdot(-x^2 - C_1)}}{2}.
Isso dá
y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4x^2 + 4C_1}}{2} = -1 \pm \sqrt{x^2 + C_1 + 1}.
Renomeando C_1 + 1 simplesmente como K, temos a forma mais limpa.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{y(x) = -1 \pm \sqrt{x^2 + K}}
onde K é constante arbitrária.

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