Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
que é uma equação de Bernoulli com
. Vamos usar a substituição que transforma esse tipo de equação numa linear.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) obtemos
Como
definimos
Então
e a equação fica
Multiplicando por
resulta
Passo 3
Essa é uma equação linear em
com coeficiente de
igual a
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando em
,
onde
é constante arbitrária. Portanto
Passo 4
Voltando à variável original,
, temos
logo
e finalmente
Não esqueça a solução trivial
, que também satisfaz a equação original.
Resposta
As soluções gerais são
onde
é constante arbitrária.