Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = x\,y^3,
que é uma equação de Bernoulli com n=3. Vamos usar a substituição que transforma esse tipo de equação numa linear.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por y^3 (assumindo momentaneamente y\neq0) obtemos
y^{-3}y' + \frac{2}{x}\,y^{-2} = x.
Como
\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr) = -2\,y^{-3}y',
definimos
u = y^{-2}.
Então
y^{-3}y' = -\tfrac12\,u',
e a equação fica
-\tfrac12\,u' + \frac{2}{x}\,u = x.
Multiplicando por -2 resulta
u' - \frac{4}{x}\,u = -2\,x.

Passo 3

Essa é uma equação linear em u com coeficiente de u igual a -4/x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^{-4}.
Multiplicando a equação por x^{-4} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}u\bigr) = -2\,x^{-3}.
Integrando em x,
x^{-4}u = \int -2\,x^{-3}\,dx = x^{-2} + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
u = x^4\bigl(x^{-2}+C\bigr) = x^2 + C\,x^4.

Passo 4

Voltando à variável original, u = y^{-2}, temos
y^{-2} = x^2 + C\,x^4 = x^2\bigl(1 + C\,x^2\bigr),
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y^2 = \frac{1}{x^2\bigl(1 + C\,x^2\bigr)},
e finalmente
y(x) = \pm \frac{1}{x\sqrt{1 + C\,x^2}}.
Não esqueça a solução trivial y(x)\equiv0, que também satisfaz a equação original.

Resposta

As soluções gerais são
y(x) = 0 \quad\text{ou}\quad y(x) = \pm \frac{1}{x\sqrt{1 + C\,x^2}},
onde C é constante arbitrária.

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