Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x-3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}}.
  • A função envolve uma divisão por x-3.
  • Queremos o domínio na reta dos números reais (todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão faz sentido).

Passo 2

O que significa “determinar o domínio”?
  • Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função é bem definida (faz sentido) e resulta em um número real.
    Para a função dada existem duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente:
  1. O radicando da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero (para obter um número real).
  2. O denominador da fração não pode ser zero (não existe divisão por zero).

Passo 3

Impor a condição da raiz quadrada: o radicando deve satisfazer
4-x^{2}\ge 0.
Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro escrevemos em forma fatorada:
4-x^{2}=(2-x)(2+x).
Os pontos críticos onde o sinal pode mudar são x=-2 e x=2. Analisando o sinal em cada intervalo:
  • Para x<-2, escolha por exemplo x=-3: (2-(-3))>0 e (2+(-3))<0, produto negativo \Rightarrow 4-x^{2}<0.
  • Para -2\le x\le 2, escolha por exemplo x=0: (2-0)>0 e (2+0)>0, produto positivo \Rightarrow 4-x^{2}\ge0.
  • Para x>2, escolha por exemplo x=3: (2-3)<0 e (2+3)>0, produto negativo \Rightarrow 4-x^{2}<0.
Portanto a solução da desigualdade é
-2\le x\le 2,
ou seja, \{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x\le 2\}, que em notação intervalar é \left[-2,2\right].

Passo 4

Impor a condição do denominador: devemos ter
x-3\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne 3.
Agora precisamos intersectar as duas condições: o conjunto onde o radicando é não-negativo e o conjunto onde o denominador não é zero. Temos o intervalo \left[-2,2\right] vindo da raiz e a exclusão do ponto x=3 vindo do denominador. Note que x=3 NÃO pertence a \left[-2,2\right], então a exclusão de 3 não elimina nenhum elemento do intervalo já obtido.

Passo 5

Verificação dos extremos (para garantir que não haja surpresa): em x=2 e em x=-2 o radicando é zero, então \sqrt{4-x^{2}}=0. Os denominadores nesses pontos são 2-3=-1 e -2-3=-5, ambos diferentes de zero, logo os extremos estão permitidos. Não há outros pontos a remover.

Passo 6

Conclusão: o domínio da função é exatamente o intervalo obtido na Passo 3, pois a condição do denominador não exclui nenhum ponto desse intervalo. Assim o domínio é
\left[-2,2\right].

Resposta

\left[-2,2\right]

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