Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada
. - A função envolve uma divisão por
. - Queremos o domínio na reta dos números reais (todos os
para os quais a expressão faz sentido).
Passo 2
O que significa “determinar o domínio”?
- Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função é bem definida (faz sentido) e resulta em um número real.
Para a função dada existem duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente:
- O radicando da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero (para obter um número real).
- O denominador da fração não pode ser zero (não existe divisão por zero).
Passo 3
Impor a condição da raiz quadrada: o radicando deve satisfazer
Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro escrevemos em forma fatorada:
Os pontos críticos onde o sinal pode mudar são
e
. Analisando o sinal em cada intervalo:
- Para
, escolha por exemplo : e , produto negativo . - Para
, escolha por exemplo : e , produto positivo . - Para
, escolha por exemplo : e , produto negativo .
Portanto a solução da desigualdade é
ou seja,
, que em notação intervalar é
.
Passo 4
Impor a condição do denominador: devemos ter
Agora precisamos intersectar as duas condições: o conjunto onde o radicando é não-negativo e o conjunto onde o denominador não é zero. Temos o intervalo
vindo da raiz e a exclusão do ponto
vindo do denominador. Note que
NÃO pertence a
, então a exclusão de
não elimina nenhum elemento do intervalo já obtido.
Passo 5
Verificação dos extremos (para garantir que não haja surpresa): em
e em
o radicando é zero, então
. Os denominadores nesses pontos são
e
, ambos diferentes de zero, logo os extremos estão permitidos. Não há outros pontos a remover.
Passo 6
Conclusão: o domínio da função é exatamente o intervalo obtido na Passo 3, pois a condição do denominador não exclui nenhum ponto desse intervalo. Assim o domínio é