Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-4}}{4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x-4}}{4}.
Informações dadas:
  • A função é escrita com uma raiz de índice 3: \sqrt[3]{x-4}.
  • O numerador é \sqrt[3]{x-4} e o denominador é 4 (constante).
  • A pergunta é: para quais valores de x a expressão está bem definida como número real? Isso é o domínio.

Passo 2

Conceito importante (o que é domínio): o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função produz um número real bem definido. Para encontrá-lo, listamos todas as restrições possíveis na expressão (por exemplo, divisão por zero, raiz de índice par com radicando negativo, logaritmo de número não positivo etc.) e eliminamos os x que violam essas restrições.

Passo 3

Analisando as restrições da nossa função:
  • Divisão: o denominador é 4. Como 4\neq 0, não existe problema de divisão por zero aqui.
  • Raiz: temos uma raiz de índice 3, ou seja, uma raiz ímpar. Regra geral: \text{Se o índice } n \text{ é par, então } \sqrt[n]{\text{radicando}} \text{ exige radicando}\ge 0.íéã
\text{Se o índice } n \text{ é ímpar, então } \sqrt[n]{\text{radicando}} \text{ está definida para todo real.}íéíãá
Portanto, \sqrt[3]{x-4} está definida para todo x\in\mathbb{R}, porque x-4 é um número real para qualquer x.

Passo 4

Para reforçar com exemplos concretos (para ver que não há surpresas):
  • Se x=4, \sqrt[3]{x-4}=\sqrt[3]{0}=0 e f(4)=0/4=0.
  • Se x=3, \sqrt[3]{x-4}=\sqrt[3]{-1}=-1 e f(3)=-1/4.
  • Se x=12, \sqrt[3]{x-4}=\sqrt[3]{8}=2 e f(12)=2/4=1/2.
    Todos esses resultados são números reais, confirmando que não há restrição.

Passo 5

Conclusão: não há nenhuma restrição sobre x vinda nem da raiz de índice ímpar, nem da divisão (denominador não nulo). Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

\mathbb{R}

Exercícios relacionados