Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função racional
definida por
Informações dadas e o que se quer:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Pergunta: quais são todos os valores de
para os quais está definida?
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o domínio de uma função é o conjunto de todos os números
para os quais a expressão da função faz sentido (está definida). No caso de uma função racional (uma fração), a única proibição geral é que o denominador não possa ser zero, porque divisão por zero não é definida. Portanto, para encontrar o domínio de
basta identificar os
que tornam o denominador igual a zero e excluí-los.
Passo 3
Aplicando a regra anterior ao denominador de
: impor que o denominador seja diferente de zero.
Agora resolvemos essa desigualdade (aqui é equivalente resolver a equação
para ver onde ocorre o problema).
Passo 4
Resolver
. Primeiro fatoramos um
:
Então a condição
ocorre exatamente quando
, ou seja,
Portanto o denominador é zero em
, e esse valor deve ser excluído do domínio.
Passo 5
Conclusão lógica: todos os demais valores de
são permitidos. Podemos escrever o domínio de duas maneiras habituais:
- Notação em conjunto:
. - Notação em intervalos:
.
Passo extra (didático): verificação rápida sobre cancelamento — se o numerador também fosse zero em
haveria uma possibilidade de ponto removível (uma “furo”) após simplificação. Aqui
então não há cancelamento;
é realmente um ponto proibido (verticalmente a função tem uma descontinuidade do tipo assimptótica).