Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{2-3 x}{7 x+14}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função racional f definida por
f(x)=\frac{2-3x}{7x+14}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A expressão do numerador é 2-3x.
  • A expressão do denominador é 7x+14.
  • Pergunta: quais são todos os valores de x para os quais f(x) está definida?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o domínio de uma função é o conjunto de todos os números x para os quais a expressão da função faz sentido (está definida). No caso de uma função racional (uma fração), a única proibição geral é que o denominador não possa ser zero, porque divisão por zero não é definida. Portanto, para encontrar o domínio de f basta identificar os x que tornam o denominador igual a zero e excluí-los.

Passo 3

Aplicando a regra anterior ao denominador de f: impor que o denominador seja diferente de zero.
7x+14 \neq 0.
Agora resolvemos essa desigualdade (aqui é equivalente resolver a equação 7x+14=0 para ver onde ocorre o problema).

Passo 4

Resolver 7x+14=0. Primeiro fatoramos um 7:
7x+14 = 7(x+2).
Então a condição 7(x+2)=0 ocorre exatamente quando x+2=0, ou seja,
x=-2.
Portanto o denominador é zero em x=-2, e esse valor deve ser excluído do domínio.

Passo 5

Conclusão lógica: todos os demais valores de x são permitidos. Podemos escrever o domínio de duas maneiras habituais:
  • Notação em conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2\}.
  • Notação em intervalos: (-\infty,-2)\cup(-2,\infty).
Passo extra (didático): verificação rápida sobre cancelamento — se o numerador também fosse zero em x=-2 haveria uma possibilidade de ponto removível (uma “furo”) após simplificação. Aqui
2-3(-2)=2+6=8\neq 0,
então não há cancelamento; x=-2 é realmente um ponto proibido (verticalmente a função tem uma descontinuidade do tipo assimptótica).

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2\} = (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)

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