Determine o domínio das seguintes funções:
y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{2 x}{\sqrt{x+4}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{2 x}{\sqrt{x+4}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é soma de duas frações: \dfrac{\sqrt{x-1}}{x} e \dfrac{2x}{\sqrt{x+4}}.
  • Devemos achar todos os valores reais de x para os quais a expressão está bem definida.

Passo 2

Regra geral que vamos usar (explicando devagar):
  • O domínio de uma expressão é o conjunto de x em que todas as partes da expressão fazem sentido como números reais.
  • Condições comuns:
    • Se aparece \sqrt{\cdot}, o radicando deve ser maior ou igual a zero: \text{radicando}\ge0.
    • Se aparece um denominador (qualquer fração), esse denominador não pode ser zero.
  • Para uma soma de expressões, o domínio é a interseção (os x que servem para todas as parcelas ao mesmo tempo) dos domínios das parcelas.

Passo 3

Analisar a primeira parcela \dfrac{\sqrt{x-1}}{x}.
  • A raiz \sqrt{x-1} exige
x-1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge 1.
  • O denominador x não pode ser zero, isto é
x \neq 0.
  • Combinando as duas condições obtemos x\ge1 e x\neq0. Como todo x\ge1 já satisfaz x\neq0, o domínio da primeira parcela é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge1\} = [1,\infty).

Passo 4

Analisar a segunda parcela \dfrac{2x}{\sqrt{x+4}}.
  • O radicando da raiz \sqrt{x+4} exige
x+4 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -4.
  • Além disso, a raiz aparece no denominador, então não pode ser zero:
\sqrt{x+4} \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x+4 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq -4.
  • Combinando as duas condições temos x\ge-4 e x\neq-4, o que é equivalente a
x>-4.
  • Portanto o domínio da segunda parcela é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>-4\} = (-4,\infty).

Passo 5

Domínio da função inteira: interseção dos domínios das parcelas.
[1,\infty)\\ \cap\\ (-4,\infty) = [1,\infty).

Passo 6

Verificação prática em pontos-chaves (para ganhar confiança):
  • Em x=1: primeira parcela \dfrac{\sqrt{1-1}}{1}=0 está bem definida; segunda parcela \dfrac{2\cdot1}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}} também está bem definida. Logo x=1 pertence ao domínio.
  • Valores maiores que 1 também satisfazem ambas as condições. Valores x<1 falham na primeira parcela (radicando negativo), logo são excluídos.

Resposta

[1,\infty)

Exercícios relacionados