Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é soma de duas frações:
e . - Devemos achar todos os valores reais de
para os quais a expressão está bem definida.
Passo 2
Regra geral que vamos usar (explicando devagar):
- O domínio de uma expressão é o conjunto de
em que todas as partes da expressão fazem sentido como números reais. - Condições comuns:
- Se aparece
, o radicando deve ser maior ou igual a zero: . - Se aparece um denominador (qualquer fração), esse denominador não pode ser zero.
- Se aparece
- Para uma soma de expressões, o domínio é a interseção (os
que servem para todas as parcelas ao mesmo tempo) dos domínios das parcelas.
Passo 3
Analisar a primeira parcela
.
- A raiz
exige
- O denominador
não pode ser zero, isto é
- Combinando as duas condições obtemos
e . Como todo já satisfaz , o domínio da primeira parcela é
Passo 4
Analisar a segunda parcela
.
- O radicando da raiz
exige
- Além disso, a raiz aparece no denominador, então não pode ser zero:
- Combinando as duas condições temos
e , o que é equivalente a
- Portanto o domínio da segunda parcela é
Passo 5
Domínio da função inteira: interseção dos domínios das parcelas.
Passo 6
Verificação prática em pontos-chaves (para ganhar confiança):
- Em
: primeira parcela está bem definida; segunda parcela também está bem definida. Logo pertence ao domínio. - Valores maiores que
também satisfazem ambas as condições. Valores falham na primeira parcela (radicando negativo), logo são excluídos.