Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) é
. - A raiz é a raiz quadrada principal (estamos trabalhando com valores reais).
Passo 2
O que significa encontrar o domínio?
- O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais de
para os quais a expressão que define a função está bem definida (ou seja, produz um número real).
No caso de uma raiz quadrada real, a condição necessária e suficiente para queseja um número real é que o radicando seja maior ou igual a zero. Portanto devemos exigir
Esta desigualdade é a condição que determina o domínio.
Passo 3
Resolver a desigualdade
. Vou fazer passo a passo, explicando cada manipulação:
Primeiro subtrai-se
dos dois lados:
Agora dividimos ambos os lados por
. Atenção importante: ao dividir (ou multiplicar) ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Como
é negativo, ao dividir por
obtemos
Explicando a inversão: dividir por
muda o sinal “maior/menor” porque multiplicar por um número negativo inverte a ordem dos números na reta real.
Passo 4
Verificação por análise de sinal (jeito alternativo, útil para decorar a ideia):
- O radicando
é uma função linear em . Zera quando , ou seja em . - Como o coeficiente de
é (negativo), essa função linear decresce quando aumenta. Portanto para o radicando é positivo, em é zero, e para é negativo. - Teste rápido: em
temos (ok); em temos (não ok). Logo o domínio é todos os menores ou iguais a .
Passo 5
Conclusão e observações finais:
- O ponto
pertence ao domínio porque aí o radicando é zero e é bem definido. - Qualquer
torna o radicando negativo, o que não é permitido para raiz quadrada real.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a, que em notação de intervalos é .