Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{3-12 x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{3-12 x} e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) é 3-12x.
  • A raiz é a raiz quadrada principal (estamos trabalhando com valores reais).

Passo 2

O que significa encontrar o domínio?
  • O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão que define a função está bem definida (ou seja, produz um número real).
    No caso de uma raiz quadrada real, a condição necessária e suficiente para que \sqrt{\cdot} seja um número real é que o radicando seja maior ou igual a zero. Portanto devemos exigir
3-12x \ge 0.
Esta desigualdade é a condição que determina o domínio.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,3-12x \ge 0. Vou fazer passo a passo, explicando cada manipulação:
3-12x \ge 0.
Primeiro subtrai-se 3 dos dois lados:
-12x \ge -3.
Agora dividimos ambos os lados por -12. Atenção importante: ao dividir (ou multiplicar) ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Como -12 é negativo, ao dividir por -12 obtemos
x \le \tfrac{1}{4}.
Explicando a inversão: dividir por -12 muda o sinal “maior/menor” porque multiplicar por um número negativo inverte a ordem dos números na reta real.

Passo 4

Verificação por análise de sinal (jeito alternativo, útil para decorar a ideia):
  • O radicando 3-12x é uma função linear em x. Zera quando 3-12x=0, ou seja em x=\tfrac{1}{4}.
  • Como o coeficiente de x é -12 (negativo), essa função linear decresce quando x aumenta. Portanto para x<\tfrac{1}{4} o radicando é positivo, em x=\tfrac{1}{4} é zero, e para x>\tfrac{1}{4} é negativo.
  • Teste rápido: em x=0 temos 3-12\cdot0=3\ge0 (ok); em x=1 temos 3-12\cdot1=-9<0 (não ok). Logo o domínio é todos os x menores ou iguais a \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Conclusão e observações finais:
  • O ponto x=\tfrac{1}{4} pertence ao domínio porque aí o radicando é zero e \sqrt{0}=0 é bem definido.
  • Qualquer x>\tfrac{1}{4} torna o radicando negativo, o que não é permitido para raiz quadrada real.
    Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a \tfrac{1}{4}, que em notação de intervalos é (-\infty,\tfrac{1}{4}].

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{4}]

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