Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=x^{4}+3 x^{3}+2 x^{2}+x-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • Função: y = x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} + x - 3.
  • Objetivo: encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Isto significa que podemos derivar termo a termo.

Passo 3

  • Regra do múltiplo constante: uma constante pode ser tirada da derivada. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot\frac{d}{dx}f(x),
onde a é constante. Exemplo: \frac{d}{dx}(3x^3)=3\cdot\frac{d}{dx}(x^3).

Passo 4

  • Regra da potência (power rule): para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente; a regra diz que se você multiplica por n e diminui o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2.

Passo 5

  • Derivada de constante: a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
No nosso caso, o termo -3 tem derivada zero.

Passo 6

Agora aplicamos termo a termo usando as regras acima.
Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.
\frac{d}{dx}\big(3x^{3}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3\cdot(3x^{2})=9x^{2}.
\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2\cdot(2x)=4x.
\frac{d}{dx}\big(x\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{1}\big)=1\cdot x^{0}=1.
\frac{d}{dx}\big(-3\big)=0.

Passo 7

Somando as derivadas termo a termo (pela regra da soma), obtemos a derivada final:
y' = 4x^{3} + 9x^{2} + 4x + 1.

Resposta

y'=4x^{3}+9x^{2}+4x+1

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