Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função \displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}}.
Precisamos encontrar todos os x tais que o radicando seja não negativo e o denominador não anule.

Passo 2

Para garantir que o denominador não seja zero, exigimos
x^{2}-4\neq0,
ou seja, x\neq -2 e x\neq 2.

Passo 3

Para que o radicando seja não negativo, impomos
\frac{x}{x^{2}-4}\ge0.

Passo 4

Os pontos que anulam numerador e denominador são x=-2, x=0 e x=2. Esses valores particionam a reta real em quatro intervalos: (-\infty,-2), (-2,0), (0,2) e (2,\infty).

Passo 5

Analisamos o sinal de \frac{x}{x^{2}-4} em cada intervalo:
  • Em (-\infty,-2): x<0 e x^{2}-4>0 → fração negativa → excluído.
  • Em (-2,0): x<0 e x^{2}-4<0 → fração positiva → incluído.
  • Em (0,2): x>0 e x^{2}-4<0 → fração negativa → excluído.
  • Em (2,\infty): x>0 e x^{2}-4>0 → fração positiva → incluído.

Passo 6

Checamos os pontos críticos:
  • x=0: o radicando vale zero e \sqrt{0}=0 está definido, então incluímos 0.
  • x=\pm2: o denominador anula, função indefinida, então excluímos \pm2.

Resposta

\text{Domínio}(f)=(-2,0]\;\cup\;(2,\infty).í

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