Determine o domínio das seguintes funções:
h(x)=\sqrt{(x-3)^{4}-16}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\sqrt{(x-3)^{4}-16}
e pede o domínio. Esse é um radical de índice par, então precisamos garantir que o radicando seja não negativo, isto é,
(x-3)^{4}-16 \ge 0.

Passo 2

Para encontrar onde
(x-3)^{4}-16 \ge 0
basta isolar a potência:
(x-3)^{4} \ge 16.

Passo 3

Como para qualquer real t vale t^4 \ge 16 se, e somente se, \lvert t\rvert \ge 16^{1/4}, temos aqui
\lvert x-3\rvert \ge 16^{1/4}=2.

Passo 4

A desigualdade \lvert x-3\rvert \ge 2 se resolve em duas partes:
x-3\ge2\quad\Longrightarrow\quad x\ge5,
ou
x-3\le-2\quad\Longrightarrow\quad x\le1.
Logo, os x que satisfazem a condição estão em (-\infty,1]\cup[5,\infty).

Resposta

(-\infty,1]\cup[5,\infty)

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