Determine o domínio das seguintes funções.
f(x)=\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}.
Aqui vamos usar conhecimentos de domínio para expressões que envolvem raízes (o radicando deve ser não-negativo) e frações (o denominador não pode ser zero).

Passo 2

Para que f(x) esteja bem definida, precisamos simultaneamente de
  1. o radicando maior ou igual a zero:
\frac{x - 3}{x + 2} \ge 0,
  1. o denominador distinto de zero:
x + 2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq -2.

Passo 3

Vamos resolver a inequação racional
\frac{x - 3}{x + 2} \ge 0.
Os pontos críticos são as raízes do numerador x=3 e do denominador x=-2. Isso divide a reta em três intervalos:
(-\infty,-2)
(-2,3)
(3,\infty)
Testando o sinal em cada intervalo:
  • Para x<-2: x-3<0 e x+2<0, então \frac{x-3}{x+2}>0.
  • Para -2<x<3: x-3<0 e x+2>0, então \frac{x-3}{x+2}<0.
  • Para x>3: x-3>0 e x+2>0, então \frac{x-3}{x+2}>0.
    No ponto x=3 o quociente vale zero, que é permitido dentro da raiz.

Passo 4

Juntando as condições:
  • A inequação é satisfeita em (-\infty,-2) e em [3,\infty).
  • Mas devemos excluir x=-2 por causa do denominador.
    Portanto o domínio é
(-\infty,-2)\,\cup\,[3,\infty).

Resposta

\domain(f)=(-\infty,-2)\cup[3,\infty).

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