Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
h(x)=3 x^{2}-6 x+5.

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função h(x)=3x^{2}-6x+5.
Informações dadas pelo enunciado: a fórmula explícita da função quadrática h(x).
O que precisamos entregar: um desenho (esboço) do gráfico que mostre os pontos e características principais para que eu consiga traçá‑lo na prova.

Passo 2

Entendendo o que é útil para esboçar uma parábola (sem resolver ainda): vou encontrar as informações que definem a forma do gráfico: concavidade (abre para cima ou para baixo), vértice (coordenadas), eixo de simetria, intercepto com o eixo y (valor quando x=0), possíveis raízes (interseções com o eixo x) e alguns pontos simétricos para dar forma ao esboço.

Passo 3

Concavidade e coeficiente a. Para uma função quadrática geral \;ax^{2}+bx+c\;:
\text{o sinal de }a\text{ determina a concavidade:}
se \;a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo); se \;a<0 abre para baixo (tem máximo). Aqui temos \;a=3, portanto \;a>0 e a parábola abre para cima (tem um mínimo). Além disso, \;|a| grande torna a parábola “mais estreita” — como |3|>1, ela será mais estreita que a parábola padrão y=x^{2}.

Passo 4

Cálculo do vértice pela fórmula do vértice. Para \;f(x)=ax^{2}+bx+c\; a abscissa do vértice é
x_{v}=\frac{-b}{2a}.
Aqui a=3 e b=-6, então
x_{v}=\frac{-(-6)}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1.
Para obter a ordenada do vértice, calculo h(1):
h(1)=3\cdot 1^{2}-6\cdot 1+5=3-6+5=2.
Logo o vértice é (1,2). Isso significa que o ponto mais baixo da parábola é x=1 com y=2.

Passo 5

Cálculo completo por completar o quadrado (útil para ver o deslocamento da parábola). Começo com
h(x)=3x^{2}-6x+5.
Fatorando 3 dos dois primeiros termos:
h(x)=3\bigl(x^{2}-2x\bigr)+5.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Substituo:
h(x)=3\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+5=3(x-1)^{2}-3+5=3(x-1)^{2}+2.
Esse formato mostra claramente que é uma parábola centrada em x=1 e elevada de 2: vértice em (1,2) e forma vertical com fator de alongamento 3.

Passo 6

Interceptos e raízes. Intercepto com o eixo y é h(0):
h(0)=3\cdot 0^{2}-6\cdot 0+5=5,
então o ponto (0,5) está no gráfico. Pela simetria, também teremos (2,5) porque 2 está à mesma distância de 1 que 0 (podemos checar: h(2)=3\cdot 4-12+5=5).
Para saber se a parábola cruza o eixo x (raízes reais), calculo o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta=(-6)^{2}-4\cdot 3\cdot 5=36-60=-24.
Como \Delta<0, não há raízes reais — a parábola não cruza o eixo x. Portanto ela fica inteiramente acima do eixo x (isto faz sentido: o mínimo é y=2>0).

Passo 7

Mais alguns pontos simétricos para enriquecer o esboço (ajudam a desenhar a forma correta). Já temos (1,2) vértice e (0,5),(2,5). Posso calcular mais um par simétrico, por exemplo x=-1 e x=3:
h(-1)=3\cdot(-1)^{2}-6(-1)+5=3+6+5=14,
h(3)=3\cdot 9-18+5=27-18+5=14.
Então (-1,14) e (3,14) também estão no gráfico — isso mostra que a parábola sobe rápido, coerente com a=3.

Passo 8

Instruções práticas para fazer o esboço na prova (passo a passo para desenhar):
  1. Marque os eixos x e y.
  2. Marque o vértice em (1,2). Trace a reta vertical x=1 como eixo de simetria, mas só como guia leve.
  3. Marque o intercepto com y em (0,5) e o ponto simétrico (2,5).
  4. Marque mais um par simétrico como (-1,14) e (3,14) para ver a subida nas “braçadeiras”.
  5. Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, com mínimo em (1,2) e abrindo para cima; lembre que a parábola aqui é mais estreita que y=x^{2}.
  6. Indique que não há interseção com o eixo x (porque \Delta<0).

Resposta

Vértice: (1,2)
Eixo de simetria: x=1
Concavidade: abre para cima ( a=3>0) — parábola mais estreita que y=x^{2}
Intercepto com y: (0,5) (e simetricamente (2,5))
Raízes reais: nenhuma ( \Delta=-24<0)
Pontos adicionais: (-1,14) e (3,14)

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