Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
.
Informações dadas pelo enunciado: a fórmula explícita da função quadrática .
O que precisamos entregar: um desenho (esboço) do gráfico que mostre os pontos e características principais para que eu consiga traçá‑lo na prova.
Informações dadas pelo enunciado: a fórmula explícita da função quadrática
O que precisamos entregar: um desenho (esboço) do gráfico que mostre os pontos e características principais para que eu consiga traçá‑lo na prova.
Passo 2
Entendendo o que é útil para esboçar uma parábola (sem resolver ainda): vou encontrar as informações que definem a forma do gráfico: concavidade (abre para cima ou para baixo), vértice (coordenadas), eixo de simetria, intercepto com o eixo
(valor quando
), possíveis raízes (interseções com o eixo
) e alguns pontos simétricos para dar forma ao esboço.
Passo 3
Concavidade e coeficiente
. Para uma função quadrática geral
:
se
a parábola abre para cima (tem mínimo); se
abre para baixo (tem máximo). Aqui temos
, portanto
e a parábola abre para cima (tem um mínimo). Além disso,
grande torna a parábola “mais estreita” — como
, ela será mais estreita que a parábola padrão
.
Passo 4
Cálculo do vértice pela fórmula do vértice. Para
a abscissa do vértice é
Aqui
e
, então
Para obter a ordenada do vértice, calculo
:
Logo o vértice é
. Isso significa que o ponto mais baixo da parábola é
com
.
Passo 5
Cálculo completo por completar o quadrado (útil para ver o deslocamento da parábola). Começo com
Fatorando
dos dois primeiros termos:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituo:
Esse formato mostra claramente que é uma parábola centrada em
e elevada de
: vértice em
e forma vertical com fator de alongamento
.
Passo 6
Interceptos e raízes. Intercepto com o eixo
é
:
então o ponto
está no gráfico. Pela simetria, também teremos
porque
está à mesma distância de
que
(podemos checar:
).
Para saber se a parábola cruza o eixo
(raízes reais), calculo o discriminante
:
Como
, não há raízes reais — a parábola não cruza o eixo
. Portanto ela fica inteiramente acima do eixo
(isto faz sentido: o mínimo é
).
Passo 7
Mais alguns pontos simétricos para enriquecer o esboço (ajudam a desenhar a forma correta). Já temos
vértice e
. Posso calcular mais um par simétrico, por exemplo
e
:
Então
e
também estão no gráfico — isso mostra que a parábola sobe rápido, coerente com
.
Passo 8
Instruções práticas para fazer o esboço na prova (passo a passo para desenhar):
- Marque os eixos
e . - Marque o vértice em
. Trace a reta vertical como eixo de simetria, mas só como guia leve. - Marque o intercepto com
em e o ponto simétrico . - Marque mais um par simétrico como
e para ver a subida nas “braçadeiras”. - Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, com mínimo em
e abrindo para cima; lembre que a parábola aqui é mais estreita que . - Indique que não há interseção com o eixo
(porque ).
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Concavidade: abre para cima ( ) — parábola mais estreita que
Intercepto com :
(e simetricamente
)
Raízes reais: nenhuma ( )
Pontos adicionais: e
Eixo de simetria:
Concavidade: abre para cima (
Intercepto com
Raízes reais: nenhuma (
Pontos adicionais: