Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão interna da raiz é a fração
. - Queremos o domínio sobre os números reais (ou seja, os valores de
para os quais está bem definida). - Para a raiz quadrada de um número real existir no conjunto dos reais, o radicando precisa ser maior ou igual a zero.
- Além disso, a fração não pode ter denominador zero, então
.
Passo 2
Relembrando a regra importante (aula rápida): para a função
ser real devemos ter
Aqui
. Portanto precisamos resolver a desigualdade
com a restrição adicional
(porque o denominador não pode ser zero). Vou ensinar um método prático para resolver desigualdades racionais: o diagrama de sinais.
Passo 3
Identificamos os pontos que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero — esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante.
- Numerador:
dá o ponto . - Denominador:
dá o ponto (esse ponto é proibido porque anula o denominador).
Portanto os pontos críticos são
e
. Eles dividem a reta em três intervalos:
,
e
.
Passo 4
Vamos testar o sinal da fração
em cada intervalo escolhendo um ponto de teste em cada um.
- Para o intervalo
, escolho .
Uma fração com numerador e denominador ambos negativos é positiva. Logo
- Para o intervalo
, escolho .
Numerador negativo e denominador positivo dá fração negativa. Logo
- Para o intervalo
, escolho .
Numerador e denominador positivos dá fração positiva. Logo
Passo 5
Agora interpretamos a desigualdade original
:
- Nas regiões onde a fração é estritamente positiva (
e ), a condição é satisfeita. - Precisamos também considerar pontos onde a fração pode ser zero: isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, em
. Em temos radicando zero e é permitido, então pertence ao domínio. - O ponto
é excluído porque anula o denominador (divisão por zero não é permitida).
Portanto a desigualdade
com
é satisfeita para
e para
.
Passo 6
Resumo final e interpretação prática para a prova: para funções com raiz de uma fração, sempre:
- imponha radicando
, - identifique zeros do numerador e do denominador,
- faça diagrama de sinais (ou teste intervalos),
- inclua pontos onde o numerador é zero (pois dão radicando zero) e exclua pontos onde o denominador é zero.
Aplicando isso aqui obtemos o domínio abaixo.