Determine o domínio das seguintes funções:
q(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
q(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão interna da raiz é a fração \frac{x-1}{x+2}.
  • Queremos o domínio sobre os números reais (ou seja, os valores de x\in\mathbb{R} para os quais q(x) está bem definida).
  • Para a raiz quadrada de um número real existir no conjunto dos reais, o radicando precisa ser maior ou igual a zero.
  • Além disso, a fração não pode ter denominador zero, então x\neq -2.

Passo 2

Relembrando a regra importante (aula rápida): para a função \sqrt{A} ser real devemos ter
A \ge 0.
Aqui A=\frac{x-1}{x+2}. Portanto precisamos resolver a desigualdade
\frac{x-1}{x+2}\ge 0,
com a restrição adicional x\neq -2 (porque o denominador não pode ser zero). Vou ensinar um método prático para resolver desigualdades racionais: o diagrama de sinais.

Passo 3

Identificamos os pontos que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero — esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante.
  • Numerador: x-1=0 dá o ponto \,x=1.
  • Denominador: x+2=0 dá o ponto \,x=-2 (esse ponto é proibido porque anula o denominador).
Portanto os pontos críticos são x=-2 e x=1. Eles dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty).

Passo 4

Vamos testar o sinal da fração \frac{x-1}{x+2} em cada intervalo escolhendo um ponto de teste em cada um.
  • Para o intervalo (-\infty,-2), escolho x=-3. \text{numerador } x-1 = -3-1 = -4 \quad(\text{negativo}),
\text{denominador } x+2 = -3+2 = -1 \quad(\text{negativo}).
Uma fração com numerador e denominador ambos negativos é positiva. Logo
\frac{x-1}{x+2}>0\quad\text{em }(-\infty,-2).
  • Para o intervalo (-2,1), escolho x=0. \text{numerador } x-1 = 0-1 = -1 \quad(\text{negativo}),
\text{denominador } x+2 = 0+2 = 2 \quad(\text{positivo}).
Numerador negativo e denominador positivo dá fração negativa. Logo
\frac{x-1}{x+2}<0\quad\text{em }(-2,1).
  • Para o intervalo (1,\infty), escolho x=2. \text{numerador } x-1 = 2-1 = 1 \quad(\text{positivo}),
\text{denominador } x+2 = 2+2 = 4 \quad(\text{positivo}).
Numerador e denominador positivos dá fração positiva. Logo
\frac{x-1}{x+2}>0\quad\text{em }(1,\infty).

Passo 5

Agora interpretamos a desigualdade original \frac{x-1}{x+2}\ge 0:
  • Nas regiões onde a fração é estritamente positiva ( (-\infty,-2) e (1,\infty)), a condição \ge 0 é satisfeita.
  • Precisamos também considerar pontos onde a fração pode ser zero: isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, em x=1. Em x=1 temos radicando zero e \sqrt{0}=0 é permitido, então x=1 pertence ao domínio.
  • O ponto x=-2 é excluído porque anula o denominador (divisão por zero não é permitida).
Portanto a desigualdade \frac{x-1}{x+2}\ge 0 com x\neq -2 é satisfeita para x\in(-\infty,-2) e para x\in[1,\infty).

Passo 6

Resumo final e interpretação prática para a prova: para funções com raiz de uma fração, sempre:
  1. imponha radicando \ge 0,
  2. identifique zeros do numerador e do denominador,
  3. faça diagrama de sinais (ou teste intervalos),
  4. inclua pontos onde o numerador é zero (pois dão radicando zero) e exclua pontos onde o denominador é zero.
Aplicando isso aqui obtemos o domínio abaixo.

Resposta

\left(-\infty,-2\right)\cup\left[1,\infty\right)

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