Determine o domínio das seguintes funções reais: f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função real f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x}} e pede: determinar o domínio dessa função.\n
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x}}.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x} no denominador.
  • Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (em linguagem direta e amigável): o domínio é o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido e produz um número real. Ou seja, procurar todos os x\in\mathbb{R} que não geram problemas (como raiz quadrada de número negativo ou divisão por zero).

Passo 3

Regras que vamos usar (mini-aula rápida):
  • A raiz quadrada real \sqrt{u} só está definida como número real quando o radicando satisfaz u\ge 0. Aqui, u=x, então para \sqrt{x} ser real precisamos de x\ge 0.
  • Uma fração \dfrac{A}{B} só está definida quando o denominador B é diferente de zero: B\ne 0.
Essas duas regras são essenciais e suficientes para determinar o domínio desta função.

Passo 4

Aplicando a primeira regra à nossa função: para que \sqrt{x} seja um número real exigimos
x\ge 0.

Passo 5

Aplicando a segunda regra (denominador não pode ser zero): como o denominador é \sqrt{x}, precisamos também que
\sqrt{x}\ne 0.
A única forma de \sqrt{x}=0 é quando x=0. Portanto, para evitar divisão por zero devemos excluir x=0.

Passo 6

Juntando as duas condições: x\ge 0 (para a raiz ser real) e x\ne 0 (para o denominador não ser zero). A interseção dessas condições é
x>0.
Também é útil checar: o numerador 2x-1 é um polinômio definido para todo x, então ele não impõe restrição adicional.\n
Exemplos rápidos para fixar a ideia: \,f(1)=\dfrac{2\cdot1-1}{\sqrt{1}}=\dfrac{1}{1}=1 (ok); \,f(4)=\dfrac{8-1}{2}=\dfrac{7}{2} (ok); x=0 não é permitido porque dá divisão por zero; x=-1 não é permitido porque \sqrt{-1} não é real.

Resposta

(0,\infty)

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