1. Determine o domínio das seguintes funções vetoriais: a) vec(r)(x, y) = (x, y, raiz(4 - x^2 - y^2));

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio da função vetorial vec(r)(x, y) = (x, y, raiz(4 - x^2 - y^2)). Estamos lidando com funções vetoriais e precisamos entender o que é o domínio delas. O domínio de uma função são todos os pares (x, y) para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições que devem ser satisfeitas para que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que pode causar restrições no domínio, que é a expressão . Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Portanto, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa desigualdade para facilitar a interpretação:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0,0) e raio , pois . A desigualdade indica que estamos considerando todos os pontos dentro e na borda desse círculo.

Passo 4

Portanto, o domínio da função vetorial consiste em todos os pares (x, y) que estão dentro ou sobre o círculo de raio no plano xy. Em termos matemáticos, podemos expressar o domínio como:
Isso significa que qualquer par (x, y) que satisfaça a condição é válido para a função .

Resposta

O domínio da função vetorial vec(r)(x, y) = (x, y, raiz(4 - x^2 - y^2)) é o conjunto de todos os pares (x, y) no plano xy que satisfazem . Em outras palavras:

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