Seja r a função vetorial definida por
r(x, y, z) = (x * z, y * (1 + x^2), z)
a) Descreva a curva obtida fazendo y = 2 e z = 1;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial definida por
r(x, y, z) = (x * z, y * (1 + x^2), z)
O objetivo é descrever a curva que obtemos ao fixar os valores e . Para resolver isso, vamos precisar entender como substituições de constantes em funções vetoriais definem curvas específicas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na função vetorial:
Aqui, vemos que a função vetorial agora depende apenas de , o que simplifica a descrição da curva.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente da função resultante:
  • Componente : varia livremente, ou seja, podemos considerar como parâmetro da curva.
  • Componente : . Isso mostra que depende quadraticamente de , formando uma parábola.
  • Componente : . Isto significa que todas as posições da curva estão no plano onde é constante, neste caso, .

Passo 4

A partir das observações anteriores, concluímos que a curva é uma parábola no plano . A equação descreve uma parábola que abre para cima no plano , e como é sempre 1, essa parábola está localizada no plano paralelo ao a uma altura de 1 unidade no eixo .

Resposta

A curva obtida ao fixar e é uma parábola definida pela equação no plano .

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