Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
h(x)=|x-2|-\left|2 x^{2}-4\right|

Passo 1

O enunciado pede o domínio, os zeros e o estudo de sinal da função
h(x)=|x-2|-\bigl|2x^{2}-4\bigr|.
Estamos em sólidos de análise de funções com valor absoluto. Para isso vamos:
  1. identificar o domínio;
  2. encontrar os pontos críticos onde mudam os sinais em h(x);
  3. escrever h(x) como polinômios em cada região;
  4. achar os zeros em cada parte;
  5. montar o quadro de sinais.

Passo 2

Os valores que anulam as expressões dentro de cada valor absoluto são as raízes de
x-2=0\implies x=2 \quad\text{e}\quad 2x^{2}-4=0\implies x^{2}=2\implies x=\pm\sqrt{2}.
Logo, dividimos \mathbb{R} em quatro regiões:
(-\infty,-\sqrt{2}),\; (-\sqrt{2},\sqrt{2}),\; (\sqrt{2},2),\; (2,\infty).
Em cada uma delas sabemos o sinal de x-2 e de x^{2}-2.

Passo 3

Em cada região expressamos
h(x)=|x-2|-2\,|x^{2}-2|.
  1. Para x<-\sqrt{2} temos x-2<0 e x^{2}-2>0, então
h(x)=-(x-2)-2(x^{2}-2)=-2x^{2}-x+6.
  1. Para -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} temos x-2<0 e x^{2}-2<0, então
h(x)=-(x-2)-2\bigl(-(x^{2}-2)\bigr)=2x^{2}-x-2.
  1. Para \sqrt{2}<x<2 volta a dar x-2<0 e x^{2}-2>0, logo
h(x)=-2x^{2}-x+6
(mesmo polinômio do caso 1).
4. Para x>2 temos x-2>0 e x^{2}-2>0, então
h(x)=(x-2)-2(x^{2}-2)=-2x^{2}+x+2.

Passo 4

Agora achamos as raízes de cada polinômio, lembrando que só valem se caírem na região correspondente.
  1. Em x<-\sqrt{2} e em \sqrt{2}<x<2 temos -2x^{2}-x+6=0.
    Esta é 2x^{2}+x-6=0 cujas raízes são
x=\frac{-1\pm7}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=-2,\;x=\tfrac{3}{2}.
  • x=-2 cai em (-\infty,-\sqrt{2}), é raiz válida.
  • x=\tfrac32 cai em (\sqrt{2},2), é raiz válida.
  1. Em -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} temos 2x^{2}-x-2=0.
    As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}.
Numericamente \tfrac{1-\sqrt{17}}{4}\approx-0,78 e \tfrac{1+\sqrt{17}}{4}\approx1,28. Ambas estão em (-\sqrt{2},\sqrt{2}).
3. Em x>2 o polinômio é -2x^{2}+x+2, que tem as mesmas raízes de 2x^{2}-x-2, mas nenhuma delas supera 2. Logo não há raiz nova aí.
Os zeros de h são
x=-2,\quad x=\frac{1-\sqrt{17}}{4},\quad x=\frac{1+\sqrt{17}}{4},\quad x=\frac{3}{2}.

Passo 5

Estudando o sinal em cada intervalo, usando que cada polinômio é concavo para cima ou para baixo, e sabendo a localização das raízes, chegamos a este quadro de sinais para h(x):
(-∞, -2): h<0
(-2, -√2): h>0
(-√2, (1-√17)/4): h>0
((1-√17)/4, ( 1+√17)/4): h<0
(( 1+√17)/4, √2): h>0
(√2, 3/2): h>0
(3/2, 2): h<0
(2, ∞): h<0

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Zeros:
x=-2,\quad x=\frac{1-\sqrt{17}}{4},\quad x=\frac{1+\sqrt{17}}{4},\quad x=\frac{3}{2}.
Sinal de h(x):
(-∞, -2) negativo
(-2, -√2) positivo
(-√2, (1-√17)/4) positivo
((1-√17)/4, ( 1+√17)/4) negativo
(( 1+√17)/4, √2) positivo
(√2, 3/2) positivo
(3/2, 2) negativo
(2, ∞) negativo

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