Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
Passo 1
A gente quer achar o domínio, os zeros e estudar onde a função
é positiva ou negativa. Como é um polinômio de grau 3, o domínio será todo
. Para os zeros, vamos usar o teorema das raízes racionais e fatoração, e para o sinal, analisar cada fator resultante.
Passo 2
Domínio de polinômios é sempre todo o conjunto dos números reais, pois não há divisão por zero nem raízes pares de índice par em denominação. Logo,
Passo 3
Para encontrar os zeros, igualamos
a zero e procuramos raízes racionais possíveis pelo teorema de Gauss: divisores de
sobre divisores de
, ou seja
. Testando
:
logo
é raiz. Dividindo o polinômio por
(sinteticamente ou com divisão longa) obtemos:
O discriminante da quadrática é
portanto não há mais raízes reais. Assim, o único zero real é
Passo 4
Para o estudo de sinal, usamos a fatoração
Como
tem coeficiente líder positivo e
, esse fator é sempre positivo. Então o sinal de
é o mesmo de
:
- Se
, então e . - Se
, então . - Se
, então e .
Resposta
Domínio:
Zeros:
Sinal:
se
,
em
e
se
.