Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
f(x)=2 x^{3}+x^{2}-3

Passo 1

A gente quer achar o domínio, os zeros e estudar onde a função
f(x)=2x^3+x^2-3
é positiva ou negativa. Como é um polinômio de grau 3, o domínio será todo \mathbb{R}. Para os zeros, vamos usar o teorema das raízes racionais e fatoração, e para o sinal, analisar cada fator resultante.

Passo 2

Domínio de polinômios é sempre todo o conjunto dos números reais, pois não há divisão por zero nem raízes pares de índice par em denominação. Logo, \text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Para encontrar os zeros, igualamos f(x) a zero e procuramos raízes racionais possíveis pelo teorema de Gauss: divisores de -3 sobre divisores de 2, ou seja \pm1,\pm3,\pm\frac32. Testando x=1:
f(1)=2\cdot1^3+1^2-3=2+1-3=0,
logo x=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (x-1) (sinteticamente ou com divisão longa) obtemos:
f(x)=(x-1)\bigl(2x^2+3x+3\bigr).
O discriminante da quadrática é
\Delta=3^2-4\cdot2\cdot3=9-24=-15<0,
portanto não há mais raízes reais. Assim, o único zero real é \{1\}.

Passo 4

Para o estudo de sinal, usamos a fatoração
f(x)=(x-1)\,(2x^2+3x+3).
Como 2x^2+3x+3 tem coeficiente líder positivo e \Delta<0, esse fator é sempre positivo. Então o sinal de f(x) é o mesmo de (x-1):
  • Se x<1, então x-1<0 e f(x)<0.
  • Se x=1, então f(x)=0.
  • Se x>1, então x-1>0 e f(x)>0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Zeros: \{1\}
Sinal: f(x)<0 se x<1, f(x)=0 em x=1 e f(x)>0 se x>1.

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