Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
h(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{\sqrt[3]{x-4}}

Passo 1

O enunciado nos pede o domínio, os zeros e o estudo de sinal de
h(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{\sqrt[3]{x-4}}.
Para isso vamos separar em três etapas: achar o domínio, resolver h(x)=0 e, por fim, estudar o sinal de numerador e denominador em cada intervalo do domínio.

Passo 2

Domínio: a função raiz cúbica \sqrt[3]{x-4} está definida para todo x\in\mathbb{R}, mas não podemos ter divisão por zero. Logo, exigimos
\sqrt[3]{x-4}\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-4\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq4.
Portanto
\mathrm{Dom}(h)=(-\infty,4)\cup(4,\infty).

Passo 3

Zeros: h(x)=0 se, e somente se, o numerador se anula (desde que o denominador seja não nulo).
x^{2}-3x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\text{ ou }x=2.
Como 1\neq4 e 2\neq4, ambos são zeros válidos.

Passo 4

Estudo de sinal: escrevemos
– numerador N(x)=x^{2}-3x+2\), que é um polinômio do 2º grau com raízes em \(1\) e \(2\), coeficiente líder positivo, logo \[N(x)\begin{cases} >0,&x<1,\\\ <0,&1<x<2,\\\ >0,&x>2. \end{cases}
– denominador D(x)=\sqrt[3]{x-4}\], cuja raiz cúbica tem o mesmo sinal de \[x-4, isto é,
D(x)\begin{cases} <0,&x<4,\\\ >0,&x>4. \end{cases}
Agora combinamos em cada intervalo do domínio:
Intervalos: (-\infty,1)\], \((1,2), (2,4), (4,\infty).
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Intervalo} & N(x) & D(x) & h(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} \\\ \hline (-\infty,1) & + & - & - \\\ (1,2) & - & - & + \\\ (2,4) & + & - & - \\\ (4,\infty) & + & + & + \end{array}

Resposta

Domínio: \,(-\infty,4)\cup(4,\infty).
Zeros: x=1 e x=2.
Sinal de h(x):
\begin{cases} h(x)<0,&x\in(-\infty,1)\cup(2,4),\\\ h(x)>0,&x\in(1,2)\cup(4,\infty). \end{cases}

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