Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
g(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x-1}

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio, os zeros e estudar o sinal da função racional
g(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x-1}.
Este é um problema de funções racionais: precisamos identificar onde o denominador anula (para excluir do domínio), fatorar numerador e denominador, encontrar zeros e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Para o domínio, impomos que o denominador seja diferente de zero:
x^{2}-x-1\neq0.
Resolvendo a equação
x^{2}-x-1=0
pelas fórmulas de Bhaskara, obtemos as raízes
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Logo o domínio é
\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\frac{1-\sqrt{5}}{2},\,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr\}.

Passo 3

Para encontrar os zeros de g, igualamos o numerador a zero:
x^{3}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1\quad\Longrightarrow\quad x=1
(no conjunto real). Verificamos que em x=1 o denominador vale 1-1-1=-1\neq0, então x=1 é um zero válido de g.

Passo 4

Fatoramos numerador e denominador para analisar o sinal:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),
onde x^{2}+x+1>0 para todo x. E
x^{2}-x-1=\bigl(x-\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\bigr)\bigl(x-\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr).
Assim o sinal de g(x) é dado por
\operatorname{sgn}g(x) =\operatorname{sgn}(x-1)\;\times\;\operatorname{sgn}\bigl(x-\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\bigr)\;\times\;\operatorname{sgn}\bigl(x-\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr).

Passo 5

Escolhemos os pontos críticos
\alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\quad x=1,\quad\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
e analisamos em cada intervalo:
(-∞, \alpha): x-1<0, ambos x-\alpha<0 e x-\beta<0 ⇒ denom positiva ⇒ g(x)<0.
\alpha,1): x-1<0, x-\alpha>0, x-\beta<0 ⇒ denom negativa ⇒ g(x)>0.
(1, \beta: x-1>0, x-\alpha>0, x-\beta<0 ⇒ denom negativa ⇒ g(x)<0.
( \beta,∞): todos fatores positivos ⇒ denom positiva ⇒ g(x)>0.

Resposta

Domínio: \displaystyle \mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr\}
Zeros: x=1
Sinal de g:
\begin{cases} g(x)<0, & x<\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},\\\ g(x)>0, & \tfrac{1-\sqrt{5}}{2}<x<1,\\\ g(x)<0, & 1<x<\tfrac{1+\sqrt{5}}{2},\\\ g(x)>0, & x>\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{cases}

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