Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
f(x)=\frac{x-\frac{1}{x}}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

Temos a função racional
f(x)=\frac{x-\frac{1}{x}}{x^{2}-3x+2}\,,
e queremos encontrar o domínio, os zeros e o estudo de sinal. O que vamos usar é: condições de existência (denominador \neq 0 e expressão definida), fatoração de polinômios, simplificação de frações racionais, identificação de raízes do numerador e análise de sinal por meio dos fatores.

Passo 2

Para o domínio precisamos que
  1. o denominador x^{2}-3x+2\neq0,
  2. o termo \tfrac{1}{x} exista, ou seja, x\neq0.
    O polinômio do denominador fatora como
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
cuja raiz são x=1 e x=2.
Portanto, o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0,1,2\}.

Passo 3

Vamos simplificar f(x). No numerador temos
x-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}.
Assim
f(x) =\frac{\frac{(x-1)(x+1)}{x}}{(x-1)(x-2)} =\frac{(x-1)(x+1)}{x\,(x-1)(x-2)}.
Cancelando o fator comum (x-1) (lembrando que x=1 não faz parte do domínio), obtemos a forma simplificada
f(x)=\frac{x+1}{x(x-2)},\quad x\neq0,1,2.

Passo 4

Os zeros da função são as soluções de x+1=0, isto é,
x=-1.
Verificamos que -1 pertence ao domínio. Não há outros zeros pois o numerador original só zera em x=\pm1 e x=1 está excluído do domínio.

Passo 5

Para o estudo de sinal usamos os fatores da forma simplificada
f(x)=\frac{x+1}{x\,(x-2)}.
Os pontos críticos são x=-1 (zero), x=0 e x=2 (polos). Fazendo a tabela de sinais:
Intervalo | -\infty<x<-1 | -1<x<0 | 0<x<2 | x>2
-------------- | ---------------- | ---------- | --------- | ------- x+1 | - | + | + | + x | - | - | + | + x-2 | - | - | - | +
Denominador | + | + | - | + f(x) | - | + | - | +
Logo:
  • f(x)<0 em (-\infty,-1) e em (0,2).
  • f(x)>0 em (-1,0) e em (2,\infty).

Resposta

Domínio: \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0,1,2\}.
Zero: x=-1.
Sinal: - em (-\infty,-1) e (0,2), + em (-1,0) e (2,\infty).

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