Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
h(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{x(x-2)}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio, os zeros e o estudo de sinal da função
h(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{x(x-2)}}.
Vamos usar (i) a definição de raiz quadrada, que exige o radicando não negativo, e (ii) a condição de denominador não nulo.

Passo 2

Simplificamos o radicando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
logo, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x(x-2)}=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}=\frac{x+2}{x}.

Passo 3

Critérios para o domínio de h:
  1. O denominador de \frac{x^{2}-4}{x(x-2)} não pode ser zero, ou seja, x\neq0 e x\neq2.
  2. O radicando deve ser maior ou igual a zero:
\frac{x^{2}-4}{x(x-2)}\ge0.

Passo 4

Identificamos os pontos críticos que anulam numerador ou denominador:
x=-2,\quad x=0,\quad x=2.
Vamos testar o sinal de \frac{x+2}{x} em cada intervalo definido por esses pontos.

Passo 5

Testando \frac{x+2}{x} nos intervalos:
(-∞, −2): x+2<0 e x<0 \frac{x+2}{x}>0 ⇒ radicando>0.
x=−2: numerador zero e denominador \neq 0\Rightarrow radicando =0.
(−2, 0): x+2>0, x<0 \frac{x+2}{x}<0 ⇒ radicando<0 (fora do domínio).
0<x<2: x+2>0, x>0 \frac{x+2}{x}>0 ⇒ radicando>0.
x =2: denominador zero ⇒ indefinido.
x>2: x+2>0, x>0 \frac{x+2}{x}>0 ⇒ radicando>0.
Portanto, o domínio de h é
(-\infty,-2]\;\cup\;(0,2)\;\cup\;(2,\infty).

Passo 6

Os zeros de h satisfazem \sqrt{\cdot}=0 ⇒ radicando =0 x^{2}-4=0 x=\pm2.
Mas x=2 não está no domínio, restando apenas
x=-2.

Passo 7

Como h(x) é uma raiz quadrada, sempre h(x)\ge0 no domínio. Mais precisamente:
h(-2)=0.
– Em todos os outros pontos do domínio, h(x)>0.

Resposta

Domínio: (-\infty,-2]\cup(0,2)\cup(2,\infty)
Zero: x=-2
Sinal: h(x)>0 em todo o domínio, exceto em x=-2 onde h(x)=0.

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