Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o domínio, os zeros e o estudo de sinal da função
Vamos usar (i) a definição de raiz quadrada, que exige o radicando não negativo, e (ii) a condição de denominador não nulo.
Passo 2
Simplificamos o radicando:
logo, para
,
Passo 3
Critérios para o domínio de
:
- O denominador de
não pode ser zero, ou seja, e . - O radicando deve ser maior ou igual a zero:
Passo 4
Identificamos os pontos críticos que anulam numerador ou denominador:
Vamos testar o sinal de
em cada intervalo definido por esses pontos.
Passo 5
Testando
nos intervalos:
(-∞, −2):
e
⇒
⇒ radicando>0.
x=−2: numerador zero e denominador radicando
.
(−2, 0): ,
⇒
⇒ radicando<0 (fora do domínio).
0<x<2: ,
⇒
⇒ radicando>0.
x : denominador zero ⇒ indefinido.
x>2: ,
⇒
⇒ radicando>0.
x=−2: numerador zero e denominador
(−2, 0):
0<x<2:
x
x>2:
Portanto, o domínio de
é
Passo 6
Os zeros de
satisfazem
⇒ radicando
⇒
⇒
.
Mas não está no domínio, restando apenas
Mas
Passo 7
Como
é uma raiz quadrada, sempre
no domínio. Mais precisamente:
– .
– Em todos os outros pontos do domínio, .
–
– Em todos os outros pontos do domínio,
Resposta
Domínio:
Zero:
Sinal: em todo o domínio, exceto em
onde
.
Zero:
Sinal: