Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
g(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\sqrt{x(x-2)}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio, os zeros e o estudo de sinal da função
g(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\sqrt{x(x-2)}}.
O conteúdo aqui é análise de funções com radicais: precisamos impor que o radicando da raiz do numerador seja não-negativo e que o radicando da raiz do denominador seja estritamente positivo; depois, achamos onde o numerador se anula e estudamos o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Para o domínio exigimos simultaneamente
  1. \,x^{2}-4\ge0 (para a raiz do numerador existir);
  2. \,x(x-2)>0 (para a raiz do denominador ser real e não zero).
    Resolvendo: \,x^{2}-4\ge0 x\le-2 ou x\ge2. \,x(x-2)>0 x<0 ou x>2.
    A interseção é
x\le-2 \quad\cup\quad x>2,
com x=2 excluído pois anula o denominador.
Logo o domínio é
(-\infty,-2]\;\cup\;(2,\infty).

Passo 3

Os zeros vêm de \sqrt{x^{2}-4}=0, isto é,
x^{2}-4=0 \;\Longrightarrow\; x=\pm2.
Desses, apenas x=-2 pertence ao domínio. Portanto o único zero é
x=-2.

Passo 4

Em cada intervalo do domínio, tanto \sqrt{x^{2}-4} quanto \sqrt{x(x-2)} são não-negativas, e a raiz do denominador é sempre positiva. Assim
  • para x\in(-\infty,-2): numerador >0, denominador >0 g(x)>0;
  • em x=-2: g(-2)=0;
  • para x\in(2,\infty): numerador >0, denominador >0 g(x)>0.

Resposta

Domínio: (-\infty,-2]\cup(2,\infty)
Zero: x=-2
Sinal: g(x)>0 em (-\infty,-2) e em (2,\infty); g(-2)=0.

Exercícios relacionados