Determine os domínios das funções reais
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o domínio da função real
Informações dadas (o que aparece na expressão):
- aparece a variável
dentro de duas raízes quadradas: e . - a expressão está no denominador de uma fração:
.
O que precisamos garantir para que
seja um número real bem definido:
- Os radicandos das raízes quadradas devem ser não negativos (para a raiz quadrada real): cada expressão dentro de
tem que satisfazer . - O denominador não pode ser zero:
.
A resolução começa a partir dessas duas condições.
Passo 2
Condição 1 — radicandos não negativos. Vou escrever explicitamente as duas desigualdades e explicar cada passo.
Primeira raiz: exigir
Resolver: subtrai-se
de ambos os lados e divide-se por
(dividir por número positivo não muda o sentido da desigualdade):
Segunda raiz: exigir
Resolver: subtrai-se
e divide-se por
. Importante: ao dividir por um número negativo a desigualdade inverte o sentido — sempre explicar isso na prova.
Portanto, a exigência dos radicandos dá as condições simultâneas
Passo 3
Interseção das condições dos radicandos. As duas desigualdades juntas significam que
deve satisfazer
ou seja o intervalo
. Até aqui garantimos que ambas as raízes são números reais (não negativas).
Passo 4
Condição 2 — o denominador não pode ser zero. Vamos analisar quando pode ocorrer
Observação importante (teoria usada): para números reais, cada
é sempre não negativo. A soma de dois números não negativos só pode ser zero se e somente se cada um deles for zero. Portanto a soma é zero exatamente quando
Resolver cada igualdade de radicando igual a zero (porque
):
Da primeira:
Da segunda:
As duas condições exigiriam ao mesmo tempo
e
, o que é impossível (não existe
que seja simultaneamente
e
). Conclusão: não existe
real que torne a soma das raízes igual a zero. Em palavras mais diretas: sobre o intervalo onde as raízes são definidas (
), a soma
é sempre positiva, nunca zero.
Passo 5
Conclusão combinada: as duas raízes exigem
e dentro desse intervalo o denominador é sempre positivo (logo diferente de zero). Não há necessidade de excluir pontos extras.
Como verificação rápida (exemplo prático): para
(que está em
) tem-se denominador
. Para
(fora do intervalo) a segunda raiz teria
, negativo, logo raiz não definida — portanto
não pertence ao domínio, como esperado.