Determine os domínios das funções reais
y=\frac{1}{\sqrt{2 x+6}+\sqrt{-3 x+15}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o domínio da função real
y=\frac{1}{\sqrt{2x+6}+\sqrt{-3x+15}}.
Informações dadas (o que aparece na expressão):
  • aparece a variável \,x\, dentro de duas raízes quadradas: \sqrt{2x+6} e \sqrt{-3x+15}.
  • a expressão está no denominador de uma fração: \dfrac{1}{\text{algo}}.
O que precisamos garantir para que y seja um número real bem definido:
  1. Os radicandos das raízes quadradas devem ser não negativos (para a raiz quadrada real): cada expressão dentro de \sqrt{\cdot} tem que satisfazer \ge 0.
  2. O denominador não pode ser zero: \sqrt{2x+6}+\sqrt{-3x+15}\neq 0.
A resolução começa a partir dessas duas condições.

Passo 2

Condição 1 — radicandos não negativos. Vou escrever explicitamente as duas desigualdades e explicar cada passo.
Primeira raiz: exigir
2x+6\ge 0.
Resolver: subtrai-se 6 de ambos os lados e divide-se por 2 (dividir por número positivo não muda o sentido da desigualdade):
2x\ge -6 \quad\Rightarrow\quad x\ge -3.
Segunda raiz: exigir
-3x+15\ge 0.
Resolver: subtrai-se 15 e divide-se por -3. Importante: ao dividir por um número negativo a desigualdade inverte o sentido — sempre explicar isso na prova.
-3x\ge -15 \quad\Rightarrow\quad x\le 5.
Portanto, a exigência dos radicandos dá as condições simultâneas
x\ge -3\quad\text{e}\quad x\le 5.

Passo 3

Interseção das condições dos radicandos. As duas desigualdades juntas significam que x deve satisfazer
-3\le x\le 5,
ou seja o intervalo \,[-3,5]\,. Até aqui garantimos que ambas as raízes são números reais (não negativas).

Passo 4

Condição 2 — o denominador não pode ser zero. Vamos analisar quando pode ocorrer
\sqrt{2x+6}+\sqrt{-3x+15}=0.
Observação importante (teoria usada): para números reais, cada \sqrt{\cdot} é sempre não negativo. A soma de dois números não negativos só pode ser zero se e somente se cada um deles for zero. Portanto a soma é zero exatamente quando
\sqrt{2x+6}=0\quad\text{e}\quad \sqrt{-3x+15}=0.
Resolver cada igualdade de radicando igual a zero (porque \sqrt{A}=0 \iff A=0):
Da primeira: \,2x+6=0\Rightarrow x=-3.
Da segunda: \,-3x+15=0\Rightarrow x=5.
As duas condições exigiriam ao mesmo tempo x=-3 e x=5, o que é impossível (não existe x que seja simultaneamente -3 e 5). Conclusão: não existe x real que torne a soma das raízes igual a zero. Em palavras mais diretas: sobre o intervalo onde as raízes são definidas ( [-3,5]), a soma \sqrt{2x+6}+\sqrt{-3x+15} é sempre positiva, nunca zero.

Passo 5

Conclusão combinada: as duas raízes exigem x\in[-3,5] e dentro desse intervalo o denominador é sempre positivo (logo diferente de zero). Não há necessidade de excluir pontos extras.
Como verificação rápida (exemplo prático): para x=0 (que está em [-3,5]) tem-se denominador \sqrt{6}+\sqrt{15}\!>\!0. Para x=6 (fora do intervalo) a segunda raiz teria -3\cdot6+15=-3, negativo, logo raiz não definida — portanto x=6 não pertence ao domínio, como esperado.

Resposta

\,[-3,5]\,

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