Prove que para todos
e
vale que:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer
e quaisquer
, valem as identidades
e
Informações relevantes dadas: os argumentos podem ser complexos (ou reais, já que
). Não há restrição adicional sobre
.
Passo 2
Vou usar a definição de seno e cosseno no plano complexo via exponencial complexa (essa é uma definição padrão e muito prática). As definições são
e
Explicando: aqui
é a função exponencial complexa (definida pela série
, válida para todo
). A propriedade usada é que a exponencial respeita soma e inverso de argumento, por exemplo
e
. Cada símbolo significa:
é a unidade imaginária (
),
é um número complexo qualquer, e
é a exponencial complexa.
Passo 3
Vamos calcular
substituindo
na definição:
Agora uso a propriedade do exponencial para reescrever os termos:
Substituindo, fica
Observe que
. Então
Pela definição de
temos
. Portanto
Isto mostra que
é uma função ímpar no conjunto dos complexos (o que inclui os reais).
Passo 4
Agora calculo
usando a definição:
De novo
e
. Assim
Como a soma é comutativa, isso é igual a
Pela definição de
temos
. Logo
Isto mostra que
é uma função par no conjunto dos complexos.
Passo 5
Para reforçar a intuição (e porque às vezes pedem outra abordagem), há também uma demonstração via séries de potências. As séries de Taylor centradas em
dão
e
Se substituímos
por
na série do seno, cada termo
troca de sinal (
), então
. Na série do cosseno, cada termo tem potência par, e
, então
. Essas séries convergem para todas as
, por isso a conclusão vale no caso complexo também.
Passo 6
Resumo e conclusão: usando a definição pela exponencial complexa (ou, alternativamente, pelas séries de potência), mostramos de forma direta as duas identidades para todo
. Como
, as mesmas identidades valem para quaisquer
. Força aí — já provamos as propriedades de paridade/ímparidade que você precisa!