Prove que para todos z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} e x, y \in \mathbb{R} vale que:
\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}(z) e \cos (-z)=\cos (z).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer \,z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}\, e quaisquer \,x,y\in\mathbb{R}\,, valem as identidades
\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}(z)
e
\cos(-z)=\cos(z).
Informações relevantes dadas: os argumentos podem ser complexos (ou reais, já que \mathbb{R}\subset\mathbb{C}). Não há restrição adicional sobre z.

Passo 2

Vou usar a definição de seno e cosseno no plano complexo via exponencial complexa (essa é uma definição padrão e muito prática). As definições são
\operatorname{sen}(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
e
\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Explicando: aqui e^{w} é a função exponencial complexa (definida pela série \displaystyle e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}, válida para todo w\in\mathbb{C}). A propriedade usada é que a exponencial respeita soma e inverso de argumento, por exemplo e^{-(iz)}=1/e^{iz} e e^{i(-z)}=e^{-iz}. Cada símbolo significa: i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1), z é um número complexo qualquer, e e^{\cdot} é a exponencial complexa.

Passo 3

Vamos calcular \operatorname{sen}(-z) substituindo -z na definição:
\operatorname{sen}(-z)=\frac{e^{i(-z)}-e^{-i(-z)}}{2i}.
Agora uso a propriedade do exponencial para reescrever os termos:
e^{i(-z)}=e^{-iz}\quad\text{e}\quad e^{-i(-z)}=e^{iz}.
Substituindo, fica
\operatorname{sen}(-z)=\frac{e^{-iz}-e^{iz}}{2i}.
Observe que e^{-iz}-e^{iz}=-(e^{iz}-e^{-iz}). Então
\operatorname{sen}(-z)=\frac{-(e^{iz}-e^{-iz})}{2i}=-\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Pela definição de \operatorname{sen}(z) temos \displaystyle\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\operatorname{sen}(z). Portanto
\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}(z).
Isto mostra que \operatorname{sen} é uma função ímpar no conjunto dos complexos (o que inclui os reais).

Passo 4

Agora calculo \cos(-z) usando a definição:
\cos(-z)=\frac{e^{i(-z)}+e^{-i(-z)}}{2}.
De novo e^{i(-z)}=e^{-iz} e e^{-i(-z)}=e^{iz}. Assim
\cos(-z)=\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}.
Como a soma é comutativa, isso é igual a
\cos(-z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Pela definição de \cos(z) temos \displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos(z). Logo
\cos(-z)=\cos(z).
Isto mostra que \cos é uma função par no conjunto dos complexos.

Passo 5

Para reforçar a intuição (e porque às vezes pedem outra abordagem), há também uma demonstração via séries de potências. As séries de Taylor centradas em 0 dão
\operatorname{sen}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,z^{2n+1}
e
\cos(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,z^{2n}.
Se substituímos z por -z na série do seno, cada termo z^{2n+1} troca de sinal ( (-z)^{2n+1}=-z^{2n+1}), então \operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}(z). Na série do cosseno, cada termo tem potência par, e (-z)^{2n}=z^{2n}, então \cos(-z)=\cos(z). Essas séries convergem para todas as z\in\mathbb{C}, por isso a conclusão vale no caso complexo também.

Passo 6

Resumo e conclusão: usando a definição pela exponencial complexa (ou, alternativamente, pelas séries de potência), mostramos de forma direta as duas identidades para todo z\in\mathbb{C}. Como \mathbb{R}\subset\mathbb{C}, as mesmas identidades valem para quaisquer x,y\in\mathbb{R}. Força aí — já provamos as propriedades de paridade/ímparidade que você precisa!

Resposta

\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}(z)
\cos(-z)=\cos(z)

Exercícios relacionados