3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
x(t)=\left[\cos \left(4 t-\frac{\pi}{3}\right)\right]^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
x(t)=\left[\cos\!\left(4t-\frac{\pi}{3}\right)\right]^{2},
e pede duas coisas: (a) determinar se x(t) é periódica; (b) se for periódica, encontrar o período fundamental. Vou listar o que temos explicitamente:
  • A função é definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • O argumento da cosseno é linear em t: 4t-\dfrac{\pi}{3}.
  • A expressão envolve o quadrado da função cosseno.

Passo 2

Definição e o que significa “período fundamental” (rápida e necessária).
  • Uma função f(t) é periódica se existe um T>0 tal que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
Qualquer T>0 que satisfaça isso é chamado de período; o menor T>0 que satisfaz é o período fundamental (ou apenas período) da função.
  • Então queremos encontrar o menor T>0 que deixa x(t) inalterada ao somar T.

Passo 3

Período da função cosseno e fórmula útil.
  • Para a função \cos(\theta) pura, o período em \theta é 2\pi: \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta.
  • Se temos \cos(a t + b) com a\neq 0, então um período em t satisfaz a(t+T)+b = a t + b + 2\pi n para algum inteiro n. O menor T>0 ocorre para n=1, resultando em
T=\frac{2\pi}{|a|}.
Aqui a é a coeficiente de t dentro do cosseno (no nosso caso a=4), e b é a fase (no nosso caso b=-\pi/3). O b não altera o valor do período, apenas desloca a função no tempo.

Passo 4

Observação sobre o quadrado \cos^2 — identidade trigonométrica que facilita.
  • Existe a identidade bem útil
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Explicando cada parte: à esquerda está o quadrado da cosseno de um ângulo \theta. À direita aparece uma constante \tfrac{1}{2} mais outra cosseno com argumento dobrado 2\theta, escalada por \tfrac{1}{2}. Essa identidade mostra que \cos^2 é combinação de uma constante e de um cosseno cuja frequência é o dobro da original.

Passo 5

Aplicar a identidade na nossa função para escrever x(t) como soma de termos mais simples.
  • Tomando \theta=4t-\dfrac{\pi}{3} na identidade, temos
x(t)=\cos^{2}\!\left(4t-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1+\cos\!\big(2(4t-\tfrac{\pi}{3})\big)}{2}.
  • Simplificando o argumento da segunda cosseno:
2\big(4t-\tfrac{\pi}{3}\big)=8t-\tfrac{2\pi}{3}.
  • Portanto escrevemos em forma explícita:
x(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\!\left(8t-\frac{2\pi}{3}\right).

Passo 6

Determinar o período da parte oscilante \cos\!\left(8t-\dfrac{2\pi}{3}\right).
  • Aqui o coeficiente de t dentro do cosseno é a=8. Pelo raciocínio do Passo 3, o período (menor T>0 que faz a cosseno repetir) é
T_{\cos}=\frac{2\pi}{|8|}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
  • A constante \tfrac{1}{2} soma nada ao caráter periódico (uma constante é periódica com qualquer período), então o período de x(t) é o mesmo que o período da cosseno multiplicada por \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Verificar que não existe período menor que \dfrac{\pi}{4} (ou seja, que esse é o período fundamental).
  • Suponha que exista T>0 menor que \dfrac{\pi}{4} tal que
\cos\!\left(8(t+T)-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(8t-\frac{2\pi}{3}\right)\quad\text{para todo }t.
Isso exige que 8T=2\pi n para algum inteiro n. Assim
T=\frac{2\pi n}{8}=\frac{n\pi}{4}.
O menor T>0 ocorre para n=1, que dá T=\dfrac{\pi}{4}. Valores inteiros n\ge2 dão períodos maiores; valores fracionários de n não são permitidos porque precisamos de n inteiro para que o aumento do argumento seja múltiplo de 2\pi.
  • Poderia haver um T que leva o argumento a \theta+\pi (ou seja 8T=\pi), pois \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta. Mas isso trocaria o sinal da cosseno; como x(t) é \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos(\cdot), trocar o sinal da cosseno normalmente não deixa x(t) inalterada. Logo 8T=\pi (que daria T=\pi/8) não funciona como período de x(t).
  • Portanto não existe T positivo menor que \dfrac{\pi}{4} que preserve x(t). Logo \dfrac{\pi}{4} é o período fundamental.

Passo 8

Conclusão final em palavras simples e encorajamento.
  • Concluímos que x(t) é periódica porque pode ser escrita como soma de constante e de uma cosseno periódica.
  • O período fundamental é T_{0}=\dfrac{\pi}{4}.
  • Boa! Essa técnica de usar a identidade de duplicação \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2} é a forma mais direta para lidar com quadrados de funções trigonométricas na prova: transforma o quadrado numa cosseno com frequência dobrada e aí é simples achar o período.

Resposta

Periódica, período fundamental T_{0}=\dfrac{\pi}{4}.

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