3.6 Determine if each function
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (a) determinar se
é periódica; (b) se for periódica, encontrar o período fundamental. Vou listar o que temos explicitamente:
- A função é definida para todo
. - O argumento da cosseno é linear em
: . - A expressão envolve o quadrado da função cosseno.
Passo 2
Definição e o que significa “período fundamental” (rápida e necessária).
- Uma função
é periódica se existe um tal que
Qualquer
que satisfaça isso é chamado de período; o menor
que satisfaz é o período fundamental (ou apenas período) da função.
- Então queremos encontrar o menor
que deixa inalterada ao somar .
Passo 3
Período da função cosseno e fórmula útil.
- Para a função
pura, o período em é : . - Se temos
com , então um período em satisfaz para algum inteiro . O menor ocorre para , resultando em
Aqui
é a coeficiente de
dentro do cosseno (no nosso caso
), e
é a fase (no nosso caso
). O
não altera o valor do período, apenas desloca a função no tempo.
Passo 4
Observação sobre o quadrado
— identidade trigonométrica que facilita.
- Existe a identidade bem útil
Explicando cada parte: à esquerda está o quadrado da cosseno de um ângulo
. À direita aparece uma constante
mais outra cosseno com argumento dobrado
, escalada por
. Essa identidade mostra que
é combinação de uma constante e de um cosseno cuja frequência é o dobro da original.
Passo 5
Aplicar a identidade na nossa função para escrever
como soma de termos mais simples.
- Tomando
na identidade, temos
- Simplificando o argumento da segunda cosseno:
- Portanto escrevemos em forma explícita:
Passo 6
Determinar o período da parte oscilante
.
- Aqui o coeficiente de
dentro do cosseno é . Pelo raciocínio do Passo 3, o período (menor que faz a cosseno repetir) é
- A constante
soma nada ao caráter periódico (uma constante é periódica com qualquer período), então o período de é o mesmo que o período da cosseno multiplicada por .
Passo 7
Verificar que não existe período menor que
(ou seja, que esse é o período fundamental).
- Suponha que exista
menor que tal que
Isso exige que
para algum inteiro
. Assim
O menor
ocorre para
, que dá
. Valores inteiros
dão períodos maiores; valores fracionários de
não são permitidos porque precisamos de
inteiro para que o aumento do argumento seja múltiplo de
.
- Poderia haver um
que leva o argumento a (ou seja ), pois . Mas isso trocaria o sinal da cosseno; como é , trocar o sinal da cosseno normalmente não deixa inalterada. Logo (que daria ) não funciona como período de . - Portanto não existe
positivo menor que que preserve . Logo é o período fundamental.
Passo 8
Conclusão final em palavras simples e encorajamento.
- Concluímos que
é periódica porque pode ser escrita como soma de constante e de uma cosseno periódica. - O período fundamental é
. - Boa! Essa técnica de usar a identidade de duplicação
é a forma mais direta para lidar com quadrados de funções trigonométricas na prova: transforma o quadrado numa cosseno com frequência dobrada e aí é simples achar o período.
Resposta
Periódica, período fundamental
.