Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=5 e^{j 3 n / 2}+3 e^{j 5 n / 2};

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x(n)=5 e^{j \tfrac{3}{2} n}+3 e^{j \tfrac{5}{2} n}
e pede para determinar se x(n) é periódica e, em caso afirmativo, encontrar o período fundamental N.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é soma de duas exponenciais complexas de frequências \omega_1=\tfrac{3}{2} e \omega_2=\tfrac{5}{2} (radianos por amostra).
  • Precisa-se verificar existência de um inteiro positivo N tal que x(n+N)=x(n) para todo n.

Passo 2

Regra básica (explicada com calma): uma sequência discreta x(n) é periódica se existe um inteiro positivo N tal que x(n+N)=x(n) para todo n.
Para a exponencial complexa e^{j \omega n} isso equivale a exigir
e^{j \omega (n+N)}=e^{j \omega n}\quad\text{para todo }n,
o que reduz-se à condição
e^{j \omega N}=1.
A igualdade e^{j \omega N}=1 é verdadeira exatamente quando
\omega N=2\pi k
para algum inteiro k. Ou seja, \dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{k}{N} deve ser um número racional. Em palavras: a frequência \omega tem de ser um múltiplo racional de 2\pi.

Passo 3

Aplicando isso ao primeiro termo 5 e^{j \tfrac{3}{2} n}: a frequência é \omega_1=\tfrac{3}{2}. Procuramos inteiros N>0 e k tais que
\tfrac{3}{2}N=2\pi k.
Isolando N obtemos
N=\frac{4\pi k}{3}.
Se existisse um N inteiro que satisfaz essa igualdade, então \pi seria igual a \dfrac{3N}{4k}, um número racional. Mas \pi é irracional, logo isso é impossível. Portanto não existe inteiro N>0 que torne e^{j \tfrac{3}{2} n} periódico. Conclusão: o primeiro termo não é periódico.

Passo 4

Fazendo o mesmo para o segundo termo 3 e^{j \tfrac{5}{2} n}: a frequência é \omega_2=\tfrac{5}{2}. A condição seria
\tfrac{5}{2}N=2\pi m
para algum inteiro m. Isso dá
N=\frac{4\pi m}{5}.
Pela mesma razão: se esse N fosse inteiro então \pi=\dfrac{5N}{4m} seria racional, o que é falso. Logo o segundo termo também não é periódico.

Passo 5

Agora a soma: para que x(n)=5 e^{j \tfrac{3}{2} n}+3 e^{j \tfrac{5}{2} n} seja periódica é necessário (e suficiente, no caso de somas de exponenciais simples) que exista um inteiro N>0 que satisfaça simultaneamente
\tfrac{3}{2}N=2\pi k\quad\text{e}\quad \tfrac{5}{2}N=2\pi m
para alguns inteiros k,m. Subtraindo essas duas igualdades obtemos
\left(\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}\right)N = 2\pi(m-k)
ou simplesmente
N=2\pi (m-k).
Isso implica que N seria um múltiplo inteiro de 2\pi. Para N inteiro isso exige que \pi seja racional (pois N/(2(m-k))=\pi), o que é impossível. Portanto não existe inteiro N que satisfaça simultaneamente as duas condições. Assim a soma também não é periódica.

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo: cada termo tem uma frequência que não é um múltiplo racional de 2\pi (por causa de \pi aparecer na condição), então nenhum termo é periódico; como não existe período comum inteiro para os dois, a soma não é periódica. Pronto — problema resolvido, sem mistério aritmético escondido. Vai dar certo na prova!

Resposta

A sequência x(n) não é periódica.

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