Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se
é periódica e, em caso afirmativo, encontrar o período fundamental
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é soma de duas exponenciais complexas de frequências
e (radianos por amostra). - Precisa-se verificar existência de um inteiro positivo
tal que para todo .
Passo 2
Regra básica (explicada com calma): uma sequência discreta
é periódica se existe um inteiro positivo
tal que
para todo
.
Para a exponencial complexa isso equivale a exigir
Para a exponencial complexa
o que reduz-se à condição
A igualdade
é verdadeira exatamente quando
para algum inteiro
. Ou seja,
deve ser um número racional. Em palavras: a frequência
tem de ser um múltiplo racional de
.
Passo 3
Aplicando isso ao primeiro termo
: a frequência é
. Procuramos inteiros
e
tais que
Isolando
obtemos
Se existisse um
inteiro que satisfaz essa igualdade, então
seria igual a
, um número racional. Mas
é irracional, logo isso é impossível. Portanto não existe inteiro
que torne
periódico. Conclusão: o primeiro termo não é periódico.
Passo 4
Fazendo o mesmo para o segundo termo
: a frequência é
. A condição seria
para algum inteiro
. Isso dá
Pela mesma razão: se esse
fosse inteiro então
seria racional, o que é falso. Logo o segundo termo também não é periódico.
Passo 5
Agora a soma: para que
seja periódica é necessário (e suficiente, no caso de somas de exponenciais simples) que exista um inteiro
que satisfaça simultaneamente
para alguns inteiros
. Subtraindo essas duas igualdades obtemos
ou simplesmente
Isso implica que
seria um múltiplo inteiro de
. Para
inteiro isso exige que
seja racional (pois
), o que é impossível. Portanto não existe inteiro
que satisfaça simultaneamente as duas condições. Assim a soma também não é periódica.
Passo 6
Resumo intuitivo e incentivo: cada termo tem uma frequência que não é um múltiplo racional de
(por causa de
aparecer na condição), então nenhum termo é periódico; como não existe período comum inteiro para os dois, a soma não é periódica. Pronto — problema resolvido, sem mistério aritmético escondido. Vai dar certo na prova!
Resposta
A sequência
não é periódica.