Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
Este é um problema de “reconstruir” a EDO a partir de suas soluções fundamentais.
Passo 2
Observamos que as duas soluções independentes são
e
.
Na teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes, essas funções surgem quando as raízes da equação característica são números complexos conjugados da forma
Na teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes, essas funções surgem quando as raízes da equação característica são números complexos conjugados da forma
Aqui
e
, de modo que as raízes são
Passo 3
Para obter o polinômio característico, formamos
Esse polinômio corresponde à EDO de segunda ordem
pois a substituição usual
(onde
) dá exatamente esse operador.
Passo 4
Concluímos, portanto, que a equação diferencial buscada é