Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
y=c1 cos 3 x+c2 sen 3 x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
y = c1cos 3x + c2sen 3x
Este é um problema de “reconstruir” a EDO a partir de suas soluções fundamentais.

Passo 2

Observamos que as duas soluções independentes são
cos 3x e sen 3x.
Na teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes, essas funções surgem quando as raízes da equação característica são números complexos conjugados da forma
r = alpha pm ibeta
Aqui alpha=0 e beta=3, de modo que as raízes são
r = pm 3i

Passo 3

Para obter o polinômio característico, formamos
(r - 3i)(r + 3i) = r^2 + 9 = 0
Esse polinômio corresponde à EDO de segunda ordem
y'' + 9y = 0,
pois a substituição usual r^2 + 9rightarrow D^2 + 9 (onde D=d/dx) dá exatamente esse operador.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a equação diferencial buscada é
y'' + 9y = 0

Resposta

y'' + 9y = 0

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