determine uma EDO y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 que admita as funções y1(t) e y2(t) como soluções fundamentais.
y1(t)=t e y2(t)=t^2, para t>0.

Passo 1

Queremos achar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
que tenha como soluções fundamentais y1(t)=t e y2(t)=t^2 para t>0. Para isso vamos usar duas ideias principais: o wronskiano dessas soluções e a fórmula de Abel para relacionar p(t) ao wronskiano.

Passo 2

Calculamos o wronskiano de y1 e y2:
W(t)= y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = t & t^2 [3pt] 1 & 2t = tcdot(2t) - 1cdot t^2 = 2t^2-t^2 = t^2 ]

Passo 3

Pela fórmula de Abel temos
W(t)=C,e^-integral p(t),dt
e portanto
p(t) = -ddtl(ln W(t)r) = -ddtl(ln t^2r) = -2t

Passo 4

Para obter q(t), basta substituir y1(t)=t na equação
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
Como y1''=0 e y1'=1, ficamos com
0 + p(t)cdot 1 + q(t)cdot t = 0 Longrightarrow q(t) = -p(t)t = --2/tt = 2t^2

Resposta

A EDO procurada é
y'' - 2t,y' + 2t^2,y = 0

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