determine uma EDO y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 que admita as funções y1(t) e y2(t) como soluções fundamentais.
y1(t)=t e y2(t)=e^t, para t>1.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
que tenha como soluções fundamentais
y1(t) = t e y2(t) = e^t,
para t>1.
Para isso vamos usar o Wronskiano das soluções e a identidade de Abel, além de impor que ambas satisfaçam a EDO.

Passo 2

Calculemos o Wronskiano
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = y1y2' - y1'y2 = tcdot e^t - 1cdot e^t = e^t(t - 1)

Passo 3

Pela identidade de Abel, em uma EDO da forma y''+p(t)y'+q(t)y=0 vale
W(t) = C,e^-integral p(t),dt
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p(t) = -W'(t)W(t)
Como
W'(t) = ddtl[e^t(t-1)r] = e^t(t-1) + e^t = t,e^t,
temos
p(t) = -t,e^te^t(t-1) = -t,t-1,

Passo 4

Para encontrar q(t), basta usar que y1(t)=t satisfaz a EDO:
y1'' + p(t),y1' + q(t),y1 = 0 ;Longrightarrow; 0 + p(t)cdot1 + q(t),t = 0 ;Longrightarrow; q(t) = -p(t)t = --,t/(t-1)t = 1,t-1,

Resposta

A equação diferencial buscada é
y'' ;-;t,t-1,,y' ;+;1,t-1,,y ;=;0

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