1. Determine edomínio, as eventuais aseíntotas, os pontos de descontinuidade, as interseçōes do gráfico com os eixos, o comportamento no infinito, o crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidado, os pontos de inflexão co grático da função f(x)=\frac{x}{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-4}
O conteúdo envolve: domínio e pontos de descontinuidade, interseções com eixos, assíntotas (verticais e horizontal/oblíquas), comportamento em x\to\pm\infty, monotonicidade e extremos via derivada primeira, concavidade e pontos de inflexão via derivada segunda, e por fim um esboço geral do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não zere:
x^{2}-4\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm2.
Logo
\Dom(f)=(-\infty,-2)\,\cup\,(-2,2)\,\cup\,(2,\infty),
e há descontinuidade do tipo pólo em x=-2 e x=2.

Passo 3

Interseções com os eixos:
– Eixo x y=0: \tfrac{x}{x^{2}-4}=0 só se x=0, que pertence a (-2,2). Logo há interseção em (0,0).
– Eixo y x=0: f(0)=0. É o mesmo ponto (0,0).

Passo 4

Assíntotas verticais em x=\pm2. Vejamos os limites:
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty.
Como grau do denominador é maior que o do numerador,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-4}=0,
logo há assíntota horizontal y=0 e não há oblíqua.

Passo 5

Calculamos a derivada primeira por quociente:
f'(x) =\frac{1\cdot(x^2-4)-x\cdot2x}{(x^2-4)^2} =\frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2} =-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}.
Como x^2+4>0 e (x^2-4)^2>0 em todo o domínio, temos f'(x)<0 para todo x\neq\pm2. Portanto f é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio e não possui extremos locais.

Passo 6

A derivada segunda dá
f''(x) =\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}.
Resolvendo f''(x)=0 obtém-se x=0, que de fato está no domínio.
Análise de sinais mostra mudança de concavidade em x=0:
– Côncava para cima em (-2,0) e (2,\infty).
– Côncava para baixo em (-\infty,-2) e (0,2).
Logo há ponto de inflexão em (0,0).

Resposta

Domínio: \displaystyle(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)
Descontinuidade: pólos em x=-2 e x=2
Interseção com eixos: (0,0)
Assíntotas verticais: x=-2, x=2
Assíntota horizontal: y=0
Comportamento em x\to\pm\infty: f(x)\to0^- quando x\to-\infty, f(x)\to0^+ quando x\to+\infty
Monotonicidade: decrescente em cada componente do domínio, sem extremos
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-2) e (0,2); côncava para cima em (-2,0) e (2,\infty)
Ponto de inflexão: (0,0)
Esboço: três ramos, todos decrescentes; ramo esquerdo negativo aproximando-se de y=0 e x=-2, ramo central mudando de +\infty a -\infty, ramo direito positivo aproximando-se de +\infty em x=2 e de y=0 em x\to+\infty.

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