- Determine edomínio, as eventuais aseíntotas, os pontos de descontinuidade, as interseçōes do gráfico com os eixos, o comportamento no infinito, o crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidado, os pontos de inflexão co grático da função
.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
O conteúdo envolve: domínio e pontos de descontinuidade, interseções com eixos, assíntotas (verticais e horizontal/oblíquas), comportamento em
, monotonicidade e extremos via derivada primeira, concavidade e pontos de inflexão via derivada segunda, e por fim um esboço geral do gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não zere:
Logo
e há descontinuidade do tipo pólo em
e
.
Passo 3
Interseções com os eixos:
– Eixo :
só se
, que pertence a
. Logo há interseção em
.
– Eixo :
. É o mesmo ponto
.
– Eixo
– Eixo
Passo 4
Assíntotas verticais em
. Vejamos os limites:
Como grau do denominador é maior que o do numerador,
logo há assíntota horizontal
e não há oblíqua.
Passo 5
Calculamos a derivada primeira por quociente:
Como
e
em todo o domínio, temos
para todo
. Portanto
é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio e não possui extremos locais.
Passo 6
A derivada segunda dá
Resolvendo
obtém-se
, que de fato está no domínio.
Análise de sinais mostra mudança de concavidade em :
– Côncava para cima em e
.
– Côncava para baixo em e
.
Logo há ponto de inflexão em .
Análise de sinais mostra mudança de concavidade em
– Côncava para cima em
– Côncava para baixo em
Logo há ponto de inflexão em
Resposta
Domínio:
Descontinuidade: pólos em e
Interseção com eixos:
Assíntotas verticais: ,
Assíntota horizontal:
Comportamento em :
quando
,
quando
Monotonicidade: decrescente em cada componente do domínio, sem extremos
Concavidade: côncava para baixo em e
; côncava para cima em
e
Ponto de inflexão:
Esboço: três ramos, todos decrescentes; ramo esquerdo negativo aproximando-se de e
, ramo central mudando de
a
, ramo direito positivo aproximando-se de
em
e de
em
.
Descontinuidade: pólos em
Interseção com eixos:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Comportamento em
Monotonicidade: decrescente em cada componente do domínio, sem extremos
Concavidade: côncava para baixo em
Ponto de inflexão:
Esboço: três ramos, todos decrescentes; ramo esquerdo negativo aproximando-se de