Encontre os valones máximo e mínimo absolutos de cada função no intervalo dado:
f(x)=3 x^{4}-4 x^{5}-12 x^{2}+1 em [-2,3]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os extremos absolutos (máximo e mínimo) da função
f(x)=3x^{4}-4x^{5}-12x^{2}+1
no intervalo [-2,3].
O procedimento geral é:
  1. Calcular a derivada f'(x).
  2. Determinar os pontos críticos em (-2,3) resolvendo f'(x)=0.
  3. Avaliar f(x) nos pontos críticos e nas extremidades x=-2 e x=3.
  4. Comparar esses valores para identificar o máximo e o mínimo absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}-4x^{5}-12x^{2}+1\bigr) =12x^{3}-20x^{4}-24x.
Fatorando:
f'(x)=4x\bigl(-5x^{3}+3x^{2}-6\bigr) =0.
Logo as soluções de f'(x)=0 são x=0 e as raízes da equação
-5x^{3}+3x^{2}-6=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 5x^{3}-3x^{2}+6=0.

Passo 3

A equação cúbica
5x^{3}-3x^{2}+6=0
tem uma única raiz real em (-2,3). Pelo método numérico (por exemplo, bisseção ou Newton), obtemos
x_{\text{crit}}\approx -0{,}896.
Portanto, os candidatos a extremos são
x=-2,\quad x\approx -0{,}896,\quad x=0,\quad x=3.

Passo 4

Agora avaliamos f(x) nesses pontos:
  1. Em x=-2:
f(-2)=3\cdot(-2)^{4}-4\cdot(-2)^{5}-12\cdot(-2)^{2}+1 =48+128-48+1=129.
  1. Em x\approx -0{,}896:
x^{2}\approx0{,}802,\quad x^{4}\approx0{,}643,\quad x^{5}\approx -0{,}576,
f(-0{,}896)\approx3\cdot0{,}643-4\cdot(-0{,}576)-12\cdot0{,}802+1 \approx1{,}929+2{,}304-9{,}624+1\approx -4{,}391.
  1. Em x=0:
f(0)=1.
  1. Em x=3:
f(3)=3\cdot3^{4}-4\cdot3^{5}-12\cdot3^{2}+1 =243-972-108+1=-836.

Passo 5

Comparando os valores:
f(-2)=129,\quad f(-0{,}896)\approx -4{,}391,\quad f(0)=1,\quad f(3)=-836.
O maior valor é 129 em x=-2 e o menor valor é -836 em x=3.

Resposta

Valor máximo absoluto: f(-2)=129
Valor mínimo absoluto: f(3)=-836

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