Determine sem efeturar nenhum cálculo, se um sistema linear com a matriz completa dada tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Justifique suas respostas. Obs.: Consedere a última coluna que está do lado direito, como a igualdade do sistema.
[llllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. A gente precisa descobrir se esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, sem fazer cálculos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o posto da matriz e a consistência do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz aumentada. Ela junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes do sistema. No caso, a última coluna representa os termos constantes. A matriz dada é:
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7

Passo 3

Para determinar o número de soluções, precisamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada. O posto é o número máximo de linhas linearmente independentes na matriz. Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de variáveis, temos uma única solução. Se o posto for igual, mas menor que o número de variáveis, temos infinitas soluções. Se os postos forem diferentes, não há solução.

Passo 4

Observando a matriz aumentada, vamos imaginar como seria a matriz dos coeficientes (todas as colunas menos a última):
1 & 2 & 3 & 4 & 5 6 & 5 & 4 & 3 & 2 7 & 7 & 7 & 7 & 7

Passo 5

Analisando rapidamente as linhas da matriz dos coeficientes, percebemos que a terceira linha é uma combinação das primeiras duas. Isso significa que o posto da matriz dos coeficientes é 2.

Passo 6

Agora, olhando para a matriz aumentada completa, também percebemos que a terceira linha continua sendo uma combinação das primeiras duas. Portanto, o posto da matriz aumentada também é 2.

Passo 7

O número de variáveis nesse sistema é 5 (as cinco primeiras colunas). Comparando os postos, temos:
  • Posto da matriz dos coeficientes: 2
  • Posto da matriz aumentada: 2
  • Número de variáveis: 5

Passo 8

Como o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada (2 = 2) e esse posto é menor que o número de variáveis (2 < 5), concluímos que o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções.

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