Determine sem efeturar nenhum cálculo, se um sistema linear com a matriz completa dada tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Justifique suas respostas. Obs.: Consedere a última coluna que está do lado direito, como a igualdade do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. A gente precisa descobrir se esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, sem fazer cálculos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o posto da matriz e a consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz aumentada. Ela junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes do sistema. No caso, a última coluna representa os termos constantes. A matriz dada é:
Passo 3
Para determinar o número de soluções, precisamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada. O posto é o número máximo de linhas linearmente independentes na matriz. Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de variáveis, temos uma única solução. Se o posto for igual, mas menor que o número de variáveis, temos infinitas soluções. Se os postos forem diferentes, não há solução.
Passo 4
Observando a matriz aumentada, vamos imaginar como seria a matriz dos coeficientes (todas as colunas menos a última):
Passo 5
Analisando rapidamente as linhas da matriz dos coeficientes, percebemos que a terceira linha é uma combinação das primeiras duas. Isso significa que o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Passo 6
Agora, olhando para a matriz aumentada completa, também percebemos que a terceira linha continua sendo uma combinação das primeiras duas. Portanto, o posto da matriz aumentada também é 2.
Passo 7
O número de variáveis nesse sistema é 5 (as cinco primeiras colunas). Comparando os postos, temos:
- Posto da matriz dos coeficientes: 2
- Posto da matriz aumentada: 2
- Número de variáveis: 5
Passo 8
Como o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada (2 = 2) e esse posto é menor que o número de variáveis (2 < 5), concluímos que o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções.