Use o método do Exemplo 5 para calcular A^10, sendo
A=[rr 1 & 0 -1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de A^10 para a matriz
A = 1 & 0 [-4pt] -1 & 2
O conteúdo aqui é o método de diagonalização de matrizes: primeiro achamos autovalores e autovetores, escrevemos
A = S,D,S^-1,
de modo que
A^10 = S,D^10,S^-1 ]

Passo 2

Para encontrar os autovalores lambda, resolvemos
det(A - lambda I) = det!1-lambda & 0 [-4pt] -1 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)=0
Logo os autovalores são
lambda1=1 e lambda2=2 ]

Passo 3

Agora achamos um autovetor não nulo para cada lambda.
Para lambda1=1, (A-I)v=0
0 & 0 [-4pt] -1 & 1 x[-2pt]y =0 Longrightarrow -y + x=0 ;Rightarrow;y=x
Um autovetor conveni-ente é
v1=1[-2pt]1
Para lambda2=2, (A-2I)v=0
-1 & 0 [-4pt] -1 & 0 x[-2pt]y =0 Longrightarrow x=0
Um autovetor é
v2=0[-2pt]1 ]

Passo 4

Formamos
S = l[v1;;v2r] =1 & 0 [-4pt] 1 & 1, D = 1 & 0 [-4pt] 0 & 2
Como det S =1, temos
S^-1 =1 & 0 [-4pt] -1 & 1
Então
A = S,D,S^-1 e D^10 = 1^10 & 0 [-4pt] 0 & 2^10 = 1 & 0 [-4pt] 0 & 1024 ]

Passo 5

Calculamos
A^10 = S,D^10,S^-1 = 1 & 0 [-4pt] 1 & 1024 1 & 0 [-4pt] -1 & 1 = 1 & 0 [-4pt] 1-1024 & 1024 = 1 & 0 [-4pt] -1023 & 1024 ]

Resposta

A^10 = 1 & 0 [-4pt] -1023 & 1024 ]

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