A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
\frac{x^{2}}{k-3}+\frac{y^{2}}{2 k-10}=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se:
(a) a equação de uma circunferência;
(b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo x;
(c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo y.
(d) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo x.
(e) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo y.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\frac{x^{2}}{k-3} + \frac{y^{2}}{2k-10} = 1
e pede valores de k que façam dela, conforme o sinal e a ordem dos denominadores: circunferência, elipse (focos em x ou em y) ou hipérbole (focos em x ou em y). Para classificar usamos:
  1. Se ambos denominadores são positivos, é elipse; se negativos, não há curva real.
  2. Se têm sinais opostos, é hipérbole.
  3. Se ainda for elipse e os denominadores forem iguais, é circunferência.
  4. Para elipse, o eixo maior (eixos dos focos) fica no eixo onde o denominador é maior. Para hipérbole, o eixo transverse (focos) fica no termo com sinal positivo.

Passo 2

Para circunferência precisamos de elipse especial com denominadores iguais e positivos:
k-3 = 2k-10 \quad\text{e}\quad k-3>0,\;2k-10>0.
Da igualdade vem
k-3 = 2k-10 \implies k = 7.
Em k=7 temos 7-3=4>0 e 2\cdot7-10=4>0, OK.

Passo 3

Para elipse (não circunferência) exigimos ambos denominadores positivos:
k-3>0 \implies k>3, \qquad 2k-10>0 \implies k>5,
logo k>5.
– Focos no eixo x: o termo x^2/(k-3) deve ser o maior, isto é
k-3 > 2k-10 \implies k<7.
Combinando com k>5
5 < k < 7.
– Focos no eixo y: o termo y^2/(2k-10) é o maior, isto é
2k-10 > k-3 \implies k>7.
Combinado a k>5, fica simplesmente
k > 7.

Passo 4

Para hipérbole precisamos de denominadores com sinais opostos.
– Focos no eixo x: termo x^2/(k-3) positivo e y^2/(2k-10) negativo, isto é
k-3>0 \implies k>3, \qquad 2k-10<0 \implies k<5,
logo
3 < k < 5.
– Focos no eixo y: termo y^2/(2k-10) positivo e x^2/(k-3) negativo, isto é
2k-10>0 \implies k>5, \qquad k-3<0 \implies k<3,
que não tem solução simultânea.

Resposta

(a) k = 7
(b) 5 < k < 7
(c) k > 7
(d) 3 < k < 5
(e) não existe valor de k para focos no eixo y numa hipérbole.

Exercícios relacionados