Determine a elipse cujo centro é C=(-6,4), um dos vértices do eixo maior é D=(-6,2) e a distância focal é 2.
a. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-48 y+324=0
b. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-64 y+380=0
c. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-24 y+180=0
d. 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x-24 y+132=0
e. 3 x^{2}+4 y^{2}+30 x-24 y+99=0
f. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-18 y+159=0

Passo 1

O enunciado pede uma elipse com centro C=(-6,4), um vértice do eixo maior em D=(-6,2) e distância focal igual a 2. O conteúdo envolve a forma reduzida da elipse, a relação
c^2 = a^2 - b^2,
a identificação do semi-eixo maior a, do semi-eixo menor b e a expansão para a forma geral.

Passo 2

A distância do centro C ao vértice D dá o semi-eixo maior:
a = \sqrt{(-6+6)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2.

Passo 3

Como D difere de C apenas na coordenada y, o eixo maior é vertical. A distância focal informada de 2 é a distância entre os focos, logo 2c=2 e
c = 1.

Passo 4

Usando a relação
c^2 = a^2 - b^2,
temos
1^2 = 2^2 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 4 - 1 = 3.

Passo 5

A forma reduzida da elipse com eixo maior vertical e centro em (-6,4) é
\frac{(x+6)^2}{b^2} + \frac{(y-4)^2}{a^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+6)^2}{3} + \frac{(y-4)^2}{4} = 1.
Multiplicando ambos os lados por 12:
4(x+6)^2 + 3(y-4)^2 = 12.

Passo 6

Expandindo:
4(x^2 + 12x + 36) + 3(y^2 - 8y + 16) = 12
4x^2 + 48x + 144 + 3y^2 - 24y + 48 = 12
4x^2 + 3y^2 + 48x - 24y + 192 = 12 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 + 3y^2 + 48x - 24y + 180 = 0.

Resposta

4x^2 + 3y^2 + 48x - 24y + 180 = 0, alternativa (c).

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