Determine a equação cartesiana da parábola com foco em
e reta diretriz
0.
Resolução: Uma parábola que tem como reta diretriz uma reta paralela ao eixo-x tem equação da forma:
, onde
é o vértice da parábola. Sabemos que
, reta diretriz
. Assim, o vértice é o ponto
. Ainda, como
, temos
. Pela posição da diretriz e foco, a parábola deve ter concavidade para baixo e, portanto,
. A equação da parábola fica então da forma:
.
Passo 1
O enunciado pede a equação cartesiana da parábola cujo foco é
e cuja diretriz é a reta
e cuja diretriz é a reta
O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância à diretriz, e o resultado fica na forma
quando a diretriz é horizontal (paralela ao eixo
).
Passo 2
Como o foco tem abscissa
e a diretriz é
, o eixo da parábola é vertical passando por
. Logo, podemos usar a forma
onde
é o vértice e
a distância assinada do vértice ao foco.
Passo 3
O vértice
fica exatamente no ponto médio entre o foco e sua projeção ortogonal sobre a diretriz. A projeção de
sobre
é
. O ponto médio entre
e
é
Passo 4
O parâmetro
é a distância orientada de
até
. Como
está em
e
em
, temos
Passo 5
Substituindo
,
e
em
vem
Resposta
A equação da parábola é