Determine a equação cartesiana da parábola com foco em \left(0,-\frac{1}{4}\right) e reta diretriz 4 y-1= 0.
Resolução: Uma parábola que tem como reta diretriz uma reta paralela ao eixo-x tem equação da forma: (x-h)^{2}=4 p(y-k), onde V=(h, k) é o vértice da parábola. Sabemos que |p|=\operatorname{dist}(V, F)=\operatorname{dist}(V, reta diretriz ). Assim, o vértice é o ponto V=(0,0). Ainda, como |p|=\operatorname{dist}(V, F), temos |p|=\frac{1}{4}. Pela posição da diretriz e foco, a parábola deve ter concavidade para baixo e, portanto, p=-\frac{1}{4}. A equação da parábola fica então da forma: x^{2}=-y.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana da parábola cujo foco é \displaystyle F=\bigl(0,-\tfrac14\bigr)
e cuja diretriz é a reta
4y-1=0\quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac14.
O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância à diretriz, e o resultado fica na forma
(x-h)^2=4p\,(y-k)
quando a diretriz é horizontal (paralela ao eixo x).

Passo 2

Como o foco tem abscissa 0 e a diretriz é y=\tfrac14, o eixo da parábola é vertical passando por x=0. Logo, podemos usar a forma
(x-h)^2=4p\,(y-k),
onde V=(h,k) é o vértice e p a distância assinada do vértice ao foco.

Passo 3

O vértice V fica exatamente no ponto médio entre o foco e sua projeção ortogonal sobre a diretriz. A projeção de F sobre y=\tfrac14 é \bigl(0,\tfrac14\bigr). O ponto médio entre \bigl(0,-\tfrac14\bigr) e \bigl(0,\tfrac14\bigr) é
V=\bigl(0,0\bigr).

Passo 4

O parâmetro p é a distância orientada de V até F. Como V está em y=0 e F em y=-\tfrac14, temos
p = y_F - y_V = -\tfrac14 - 0 = -\tfrac14.

Passo 5

Substituindo h=0, k=0 e p=-\tfrac14 em
(x-h)^2=4p\,(y-k)
vem
x^2 = 4\Bigl(-\tfrac14\Bigr)\,y = -y.

Resposta

A equação da parábola é
\boxed{x^2 = -y}.

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