(2,0 pts.) Questão 1. Sejam r_{1} a reta que passa pelos pontos A=(1,0,0) e B=(0,2,0) e r_{2} a reta de equações simétricas x-2=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{3}. Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(1,2,1) e é simultaneamente ortogonal às retas r_{1} e r_{2}.

Passo 1

O enunciado pede uma reta que passe por P=(1,2,1) e seja ortogonal simultaneamente às retas
r_{1}: \text{passa por }A=(1,0,0)\text{ e }B=(0,2,0)
r_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{3}.
Para que uma reta seja ortogonal a duas retas, seu vetor diretriz deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas retas. Vamos usar produto vetorial para obter esse vetor diretriz.

Passo 2

Primeiro encontramos os vetores diretores de r_{1} e r_{2}.
Para r_{1} temos
v_{1}=B-A=(0-1,\;2-0,\;0-0)=(-1,2,0).
Para r_{2} lemos diretamente das equações simétricas:
v_{2}=(1,2,3).

Passo 3

O vetor diretriz v da reta procurada é dado pelo produto vetorial
v=v_{1}\times v_{2} =(\,2\cdot3-0\cdot2,\;-\bigl(-1\cdot3-0\cdot1\bigr),\;-1\cdot2-2\cdot1) =(6,3,-4).
Verifique que v\cdot v_{1}=0 e v\cdot v_{2}=0, garantindo a ortogonalidade.

Passo 4

Com ponto P=(1,2,1) e vetor diretriz v=(6,3,-4), as equações paramétricas da reta são
x=1+6t,\quad y=2+3t,\quad z=1-4t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

x=1+6t,\\ y=2+3t,\\ z=1-4t,\\ t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados