Determine a equação cartesiana da parábola cujo vértice é o ponto ( 4,-1 ), cujo eixo é a reta y+1=0 e que passa por (3,-3).
Resolução: Uma parábola cujo eixo é uma reta paralela ao eixo-x tem equação no formato: (y-k)^{2}=4 p(x-h), onde V=(h, k) são as coordenadas do vértice da
parábola. Assim, a equação dessa parábola fica da forma: (y+1)^{2}=4 p(x-4). Sendo (3,-3) um ponto dessa parábola, ele satisfaz sua equação. Assim, temos:
(-3+1)^{2}=4 p(3-4) \Longrightarrow 4=-4 p \Longrightarrow p=-1.
A equação da parábola fica então: (y+1)^{2}=-4(x-4).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de uma parábola com vértice em (4,-1), eixo paralelo ao eixo- x (reta y+1=0) e que contém o ponto (3,-3). Vamos usar a forma reduzida de parábola com eixo horizontal.

Passo 2

Para uma parábola de eixo horizontal e vértice em (h,k), a forma reduzida é
(y-k)^{2}=4p\,(x-h),
onde p indica a distância focal e o sinal de p define o lado para o qual a parábola abre.

Passo 3

Substituindo o vértice (h,k)=(4,-1), obtemos
(y+1)^{2}=4p\,(x-4).

Passo 4

Como a parábola passa por (3,-3), substituímos x=3 e y=-3 em (y+1)^{2}=4p(x-4):
(-3+1)^{2}=4p\,(3-4) \quad\Longrightarrow\quad ( -2)^{2}=4p\cdot(-1) \quad\Longrightarrow\quad 4=-4p \quad\Longrightarrow\quad p=-1.

Passo 5

Com p=-1, a equação fica
(y+1)^{2}=-4\,(x-4).

Resposta

(y+1)^{2}=-4(x-4)

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