(2,0 pts.) Questão 3. Determine equações reduzias da reta de interseção dos planos \pi_{1}: 3 x-y+2 z-1=0 e \pi_{2}: x+2 y-3 z-4=0.
Passo 1
O enunciado pede a reta de interseção dos planos \pi_{1}:3x - y + 2z - 1 = 0 e \pi_{2}:x + 2y - 3z - 4 = 0.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: para achar essa reta, precisamos
do vetor direção, que vem do produto vetorial dos normais dos planos, e
de um ponto que satisfaça as duas equações (resolvendo o sistema).
Passo 2
Os vetores normais são
n_{1} = (3,-1,2), \quad n_{2} = (1,2,-3).
O vetor direção d é
d = n_{1} \times n_{2} = (3,-1,2)\times(1,2,-3) = (-1,\,11,\,7).
Passo 3
Para encontrar um ponto P\) na reta, resolvemos o sistema
\[\begin{cases} 3x - y + 2z = 1,\\\ x +2y -3z = 4. \end{cases}
Escolhendo y=0\], ficam
\[3x +2z = 1, \quad x - 3z = 4.\]
Dessa segunda, \(x = 4 + 3z. Substituindo na primeira: