(2,0 pts.) Questão 3. Determine equações reduzias da reta de interseção dos planos \pi_{1}: 3 x-y+2 z-1=0 e \pi_{2}: x+2 y-3 z-4=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção dos planos \pi_{1}:3x - y + 2z - 1 = 0 e \pi_{2}:x + 2y - 3z - 4 = 0.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: para achar essa reta, precisamos
  1. do vetor direção, que vem do produto vetorial dos normais dos planos, e
  2. de um ponto que satisfaça as duas equações (resolvendo o sistema).

Passo 2

Os vetores normais são
n_{1} = (3,-1,2), \quad n_{2} = (1,2,-3).
O vetor direção d é
d = n_{1} \times n_{2} = (3,-1,2)\times(1,2,-3) = (-1,\,11,\,7).

Passo 3

Para encontrar um ponto P\) na reta, resolvemos o sistema \[\begin{cases} 3x - y + 2z = 1,\\\ x +2y -3z = 4. \end{cases}
Escolhendo y=0\], ficam \[3x +2z = 1, \quad x - 3z = 4.\] Dessa segunda, \(x = 4 + 3z. Substituindo na primeira:
3(4+3z) + 2z = 1 \;\Rightarrow\; 12 +9z +2z =1 \;\Rightarrow\; 11z = -11 \;\Rightarrow\; z = -1,
logo x = 4 +3(-1) = 1.
Assim, um ponto na reta é
P(1,\,0,\,-1).

Passo 4

As equações paramétricas da reta com parâmetro t são
\begin{cases} x = 1 - t,\\\ y = 11\,t,\\\ z = -1 + 7\,t. \end{cases}

Passo 5

Para passar às equações reduzidas, isolamos t em cada coordenada:
\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{7}.

Resposta

\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{7}.

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