Determine a equação canônica da elipse:
b. com centro na origem, focos no eixo das abscissas, que passa pelo ponto A=(raiz15,-1) e seu semi-eixo menor é 2 ;
Resp. x^220+y^24=1

Passo 1

O enunciado pede a equação canônica de uma elipse com as seguintes características:
  • Centro na origem (0,0).
  • Focos sobre o eixo x (logo a semi-eixo maior a está associado a x).
  • Semi-eixo menor b = 2.
  • A elipse passa pelo ponto A=(raiz15,-1).
    Para resolver, vamos usar a forma canônica
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
e a relação entre a, b e a distância focal c:
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Escrevendo a equação geral com b=2 e a desconhecido, temos
x^2a^2 + y^22^2 = 1 Longrightarrow x^2a^2 + y^24 = 1

Passo 3

Substituímos as coordenadas de A=(raiz15,-1) na equação para encontrar a^2:
(raiz15)^2a^2 + (-1)^24 = 1 Longrightarrow 15a^2 + 14 = 1
Isolando 15a^2:
15a^2 = 1 - 14 = 34 Longrightarrow a^2 = 15cdot 43 = 20

Passo 4

Com a^2=20 e b^2=4, calculamos
c^2 = a^2 - b^2 = 20 - 4 = 16 Longrightarrow c = 4,
o que confirma que os focos estão em (pm4,0) sobre o eixo x.

Passo 5

Substituindo a^2=20 e b^2=4 na forma canônica, obtemos
x^220 + y^24 = 1

Resposta

x^220 + y^24 = 1

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