Determine a equação canônica da elipse:
d. cujos focos estão sobre a reta y+6=0, o ponto B=(3,-11) é um dos extremos do eixo menor e a excentricidade é igual a 1raiz2
Resp. (x-3)^250+(y+6)^225=1

Passo 1

O enunciado pede a equação canônica de uma elipse cujos focos estão sobre a reta y+6=0 (ou seja, y=-6), o ponto B=(3,-11) é um extremo do eixo menor e a excentricidade é
e = 1raiz2
Como os focos têm a mesma ordenada, o eixo principal é horizontal e a forma geral é
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1,
com a>b, centro (h,k), e as relações
c^2 = a^2-b^2, e = ca

Passo 2

Determinar o centro (h,k). Como os focos estão sobre y=-6, o centro tem k=-6. O ponto B=(3,-11) está no eixo menor, cujos extremos são (h,kpm b). Comparando a abscissa de B com h vem
h = 3
Logo o centro é (3,-6).

Passo 3

Encontrar b usando a ordenada de B. Se B é (h,k-b), então
k - b = -11 Longrightarrow -6 - b = -11 Longrightarrow b = 5

Passo 4

Usar a excentricidade
e = ca = raiza^2-b^2a = 1raiz2
Elevando ao quadrado:
a^2-b^2a^2 = 12 Longrightarrow 2(a^2-b^2) = a^2 Longrightarrow a^2 = 2,b^2 = 2cdot 25 = 50

Passo 5

Escrever a equação canônica com (h,k)=(3,-6), a^2=50 e b^2=25:
(x-3)^250 + (y+6)^225 = 1

Resposta

(x-3)^250 + (y+6)^225 = 1

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