Determine a equação da hipérbole:
c. de centro na origem, eixo real sobre o eixo das ordenadas, que passa pelos pontos
P(0, 6 raiz55) e Q(4,6)
Resp. 5 y^2-9 x^2=36

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole centrada na origem, com eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, que passa pelos pontos
Pl(0,tfrac6raiz55r) e Q(4,6). Nesse caso a forma padrão é
y^2a^2-x^2b^2=1,
onde a e b são constantes a determinar.

Passo 2

Substituímos Pl(0,tfrac6raiz55r) em y^2a^2-x^2b^2=1. Como x=0, o segundo termo some e fica
l(tfrac6raiz55r)^2a^2=1

Passo 3

Calculamos
l(tfrac6raiz55r)^2 = 36cdot 525 = 365,
logo tfrac36/5a^2=1 e daí
a^2 = 365

Passo 4

Agora usamos Q(4,6) em
y^2a^2-x^2b^2=1 com a^2=tfrac365:
6^236/5-4^2b^2=1 Longrightarrow 3636/5-16b^2=1 Longrightarrow 5-16b^2=1
Assim
16b^2=4 Longrightarrow b^2=4

Passo 5

Substituindo a^2=tfrac365 e b^2=4 em
y^2a^2-x^2b^2=1 obtemos
y^236/5-x^24=1
Multiplicando ambos os lados por 36 chega-se a
5y^2 - 9x^2 = 36

Resposta

A equação da hipérbole é
5y^2 - 9x^2 = 36

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