Determine a equação canônica da elipse:
a. com centro na origem, eixo focal sobre o eixo 0 x, que passa pelo ponto A=(2 raiz2, 1) e de excentricidade 1raiz2;
Resp. x^210+y^25=1

Passo 1

O enunciado pede a elipse de centro na origem, eixo maior sobre o eixo Ox, que tem equação canônica
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
com a>b>0, focos em (pm c,0) e excentricidade e = ca = tfrac1raiz2. Vamos usar a relação
c^2 = a^2 - b^2
e o fato de que o ponto A=(2raiz2,1) satisfaz a equação.

Passo 2

Da definição de excentricidade temos
c = e,a implies c^2 = a^2 e^2
Igualando com c^2 = a^2 - b^2 vem
a^2 e^2 = a^2 - b^2 Longrightarrow b^2 = a^2l(1 - e^2r)
Como e^2 = tfrac12, segue
b^2 = a^2l(1 - tfrac12r) = tfraca^22

Passo 3

Substituindo b^2=tfraca^22 na equação canônica fica
x^2a^2 + y^2a^2/2 = 1 Long<=ftrightarrow x^2a^2 + 2y^2a^2 = 1 Long<=ftrightarrow x^2 + 2y^2 = a^2
Como A pertence à elipse, substituímos x=2raiz2, y=1:
(2raiz2)^2 + 2cdot1^2 = a^2 Longrightarrow 8 + 2 = a^2 Longrightarrow a^2 = 10

Passo 4

Tendo a^2=10, calculamos
b^2 = tfraca^22 = tfrac102 = 5
Logo a forma canônica é

Resposta

x^210 + y^25 = 1

Exercícios relacionados