Obtenha o vértice e o foco da parábola cuja equação é:
a. y^2-6 y-12 x-15=0
Resp.: V(-2,3), F(1,3)

Passo 1

O enunciado pede o vértice e o foco da parábola
y^2 - 6y - 12x - 15 = 0
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos completar o quadrado em y e reescrever na forma canônica
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
para então identificar o vértice (h,k) e o foco (h+p,k).

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em y e completamos o quadrado:
y^2 - 6y - 12x - 15 = 0 Longrightarrow (y^2 - 6y + 9) - 9 - 12x - 15 = 0
Longrightarrow (y - 3)^2 - 12x - 24 = 0 Longrightarrow (y - 3)^2 = 12x + 24

Passo 3

Colocamos na forma padrão (y - 3)^2 = 4p,(x - (-2)). Comparando,
4p = 12 Longrightarrow p = 3,
e o termo x + 2 indica que o vértice é (h,k)=(-2,3).

Passo 4

Na forma (y - k)^2 = 4p,(x - h), a parábola abre para a direita, com:
– vértice V=(h,k)=(-2,3),
– foco F=(h+p,,k)=(-2+3,,3)=(1,3).

Resposta

V(-2,3),;F(1,3)

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