Determine a equação da parábola:
h. que tem o foco na origem e diretriz a reta r: 2 x+3 y+5=0;
Resp. 9 x^2+4 y^2-12 x y-20 x-30 y-25=0;

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é a origem (0,0) e cuja diretriz é a reta
r: 2x + 3y + 5 = 0
O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que satisfazem
distância(P,F) ;=;distância(P,diretriz) ââ

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola.
A distância de P ao foco F(0,0) é
dF = raiz(x-0)^2 + (y-0)^2 = raizx^2 + y^2
A distância de P à reta 2x + 3y + 5 = 0 é
dr = l|2x + 3y + 5r|raiz2^2 + 3^2 = l|2x + 3y + 5r|raiz13

Passo 3

Pela definição de parábola, impõe-se
raizx^2 + y^2 ;=; l|2x + 3y + 5r|raiz13
Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = (2x + 3y + 5)^213

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 13 e expandindo, vem
13,(x^2 + y^2) = (2x + 3y + 5)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2 + 20x + 30y + 25

Passo 5

Reagrupando todos os termos num só lado:
13x^2 + 13y^2 - l(4x^2 + 9y^2 + 12xy + 20x + 30y + 25r) = 0,
que simplifica para
9x^2 + 4y^2 -12xy -20x -30y -25 = 0

Resposta

A equação da parábola é
9x^2 + 4y^2 -12xy -20x -30y -25 = 0

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