Determine a equação da hipérbole:
d. com centro O^prime=(-2,-1), um dos focos F=(-2,2) e cujo eixo real mede 4;
Resp. (y+1)^24-(x+2)^25=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole que tem centro em O'=(-2,-1), um foco em F=(-2,2) e cujo eixo real mede 4. Aqui estamos estudando cônicas, mais especificamente hipérboles, e vamos usar as definições de semi-eixo, distância focal e a forma padrão da equação centrada em (h,k).

Passo 2

Como o foco e o centro têm a mesma abscissa ( x=-2), o eixo transverso (real) é vertical. Logo, a forma padrão da hipérbole é
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2b^2 ;=;1
com (h,k)=(-2,-1).

Passo 3

O enunciado diz que o eixo real mede 4. Como o eixo real tem comprimento 2a, temos
2a = 4 Longrightarrow a = 2

Passo 4

A distância do centro ao foco é c. Do centro (-2,-1) até o foco (-2,2) a variação em y é
c = |2 - (-1)| = 3

Passo 5

Para hipérbole vertical vale a relação
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo c=3 e a=2,
9 = 4 + b^2 Longrightarrow b^2 = 5

Passo 6

Substituindo h=-2, k=-1, a^2=4 e b^2=5 na forma padrão, obtemos
(y+1)^24 ;-; (x+2)^25 ;=; 1

Resposta

(y+1)^24 -(x+2)^25 =1

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